Beweis der Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,
wie kann man denn zum Beispiel beweisen, dass sich in einem ähnlichen Dreieck wirklich entsprechende Seiten immer gleich verhalten,
oder in einem kongruenten Dreieck alle Seiten gleich lang sind oder die Winkel gleich groß oder in zwei Seiten und dem eingeschlossenem Winkel übereinstimmen?
Auf Wikipedia steht leider kein Beweis und über google finde ich auch nichts, womit ich mir das erschließen kann.
Mir kommt es auf das Prinzip an, wie man das herleiten kann, vielleicht an einem Beispiel entweder ein Ähnlichkeitssatz oder Kongruenzsatz erklärt.

Vielen Dank
Tim

#2

hi,

wie kann man denn zum Beispiel beweisen, dass sich in einem
ähnlichen Dreieck wirklich entsprechende Seiten immer gleich
verhalten,

da gibts nix zu beweisen; das ist sozusagen die definition von ähnlichkeit.
du kannst natürlich ähnlichkeit lediglich über die winkel definieren und dann mit trigonometrie nachweisen, dass die längenverhältnisse gleich sind. aber letztlich SIND winkel sowas wie längenverhältnisse.

oder in einem kongruenten Dreieck alle Seiten gleich lang sind
oder die Winkel gleich groß oder in zwei Seiten und dem
eingeschlossenem Winkel übereinstimmen?

das ist die definition von kongruenz.

definitionen sind willensäußerungen und übereinkünfte: „wir wollen dreiecke, deren längenverhältnisse gleich sind, ‚ähnlich‘ nennen.“ das kann man nicht beweisen.

hth
m.

#3

da gibts nix zu beweisen; das ist sozusagen die definition von
ähnlichkeit.
du kannst natürlich ähnlichkeit lediglich über die winkel
definieren und dann mit trigonometrie nachweisen, dass die
längenverhältnisse gleich sind. aber letztlich SIND winkel
sowas wie längenverhältnisse.

http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenzsatz. Da steht, dass der SWS-Satz bei der Kongruenz ein Axiom ist. Das kann man nicht beweisen, da hast du recht. Es steht aber auch da, dass man die anderen Sätze daraus entwickelt.
Kannst mir jemand vielleicht das noch kurz vom Prinzip her erklären, wie man das macht?
Gibt es auch sowas für Ähnlichkeitssätze? Also dass man rein von der Logik her sagt, wenn Dreiecke im Verhältnis ihrer drei Seiten übereinstimmen, dann sind sie einander ähnlich und man kann 100%ig ausschließen, dass man sich irrt? Oder kann man die Ähnlichkeitssätze auch aus dem SWS-Satz der Kongruenz(Axion) folgern?

Danke

#4

hi,

Gibt es auch sowas für Ähnlichkeitssätze? Also dass man rein
von der Logik her sagt, wenn Dreiecke im Verhältnis ihrer drei
Seiten übereinstimmen, dann sind sie einander ähnlich

das ist i.a. die definition!

und man
kann 100%ig ausschließen, dass man sich irrt?

irren bei was?

Oder kann man
die Ähnlichkeitssätze auch aus dem SWS-Satz der
Kongruenz(Axion) folgern?

wie definierst du = [i.w.] was verstehst du unter „ähnlichkeit“ bzw. „kongruenz“?

das müssen wir zuerst klären, sonst hat das „beweisen“ keinen sinn.
m.

MOD: Überflüssige Zitatteile gelöscht.

#5

Gibt es auch sowas für Ähnlichkeitssätze? Also dass man rein
von der Logik her sagt, wenn Dreiecke im Verhältnis ihrer drei
Seiten übereinstimmen, dann sind sie einander ähnlich

das ist i.a. die definition!

und man
kann 100%ig ausschließen, dass man sich irrt?

Zum Beispiel, dass für Ähnlichkeit zweier Dreiecke vielleicht schon ausreicht, dass sie nur im Verhältnis von zwei Seiten übereinstimmen müssen. Jetzt müsste man ja beweisen können, dass es noch einen gemeinsamen Winkel braucht, um zu sagen, dass das Dreieck ähnlich ist und sich die entsprechenden Seiten immer gleich verhalten.

Als Axiom und damit nicht beweisbedürftig gilt ja nur der SWS-Satz der Kongruenz

wie definierst du = [i.w.] was verstehst du unter
„ähnlichkeit“ bzw. „kongruenz“?

Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, dann kann man sagen, dass sich entsprechende Seiten immer gleich verhalten.
Bei Kongruenz sind sie deckungsgleich und man kann sogar sagen, dass entsprechende Seiten gleich lang sind.

Aber die Regeln, wann etwas ähnlich bzw. kongruent sind, könnte man doch jetzt ausgehend vom SWS-Satz belegen können, oder?

Danke