Beweis derLösung einer Differentialgleichung

Wissenschaft Mathematik
#1

Zum Beweis der Richtigkeit müssen die Lösung und ihre Ableitung in die DGL eingesetzt werden
und diese identisch erfüllen.
Gegeben ist die DGL: y’ + y/x + xy^2 = 0 und die Lösung y(x^2 + Cx) = 1.
Dem Beweisverfahren stellen sich folgende Schwierigkeiten entgegen:

  1. Wio ist in der DGL der Platzhalter für die Lösung?
  2. Wie lautet die explizite Form der Lösung als Voraussetzung für die Berechnung der
    Ableitung? Ich gehe davon aus, dass die genannte Lösung kein Produkt darstellt, sondern
    gelesen wird: y von (x^2 + Cx)) = 1
    Vielen Dank für die Hilfe!

[Aus Datenschutzgründen habe ich die E-Mail-Adresse entfernt. - Moderator X_Strom]

#2

Hallo,

  1. y = y(x)
  2. y(x) mal (x^2+Cx) = 1
#3

→ y = (x² + Cx)-1

#4

Hallo Metapher!
Den Schritt y(x^2+Cx) nach y=(x^2+Cx)^-1 verstehe ich nicht. So etwas habe ich noch nie gesehen.
Darf ich Dich um eine nähere Erklärung bitten?
Danke
Manfred

#5

Du teilst auf beiden Seiten durch x^2+Cx.

Negative Potenzen kommen von der Additivität der Exponentierung: a^x * a^y = a^(x+y). Denn a^0 = a^-1 * a^1 = 1/a * a = 1.

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#6

Hallo @MKnapp,
gemeint ist hier
y(x) = 1/(x^2+Cx) = 1/[ x*(x+C) ]
Daraus erhältst du das Quadrat
y^2(x) = 1/[ x^2*(x+C)^2 ]
und nach der Kettenregel die Ableitung
y’(x) = (-2x-C ) / [ x^2*(x+C)^2 ]
Wenn du diese drei Ausdrücke in die Differentialgleichung einsetzt, dann erhältst du
y’ + y/x + xy^2
= (-2x-C) / [ x^2*(x+C)^2 ] +1 / [ x^2*(x+C) ] + x / [ x^2*(x+C)^2 ]
Der erste und der dritte Bruch haben beide den gleichen Nenner. Das ist gut, denn damit können wir diese Brüche sofort addieren. Dem zweiten Bruch fehlt im Nenner ein Faktor (x+C). Wir erweitern deswegen erst den zweiten Bruch und addieren dann alle drei Brüche.
y’ + y/x + xy^2
= (-2x-C) / [ x^2*(x+C)^2 ] + (x+C) / [ x^2*(x+C)^2 ] + x / [ x^2*(x+C)^2 ]
= [ -2x-C+x+C+x ]/[ x^2*(x+C)^2 ]
= 0 / [ x^2*(x+C)^2 ]
= 0.
Die Funktion y löst also wie behauptet die Differentialgleichung.

Allerdings gleich noch zwei Warnungen: erstens sind die Werte x=0 und x=C offensichtlich nicht erlaubt. Und zweitens gibt es noch weitere Lösungen, die nicht von der Form y(x) = 1/(x^2+Cx) sind. Eine offensichtliche weitere Lösung ist y(x)=0. Und vielleicht gibt es auch noch andere Lösungen.

Liebe Grüße
vom Namenlosen

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#7

Die Lösung lautet ja
y · (x² + Cx) = 1
(links steht ein Produkt, wie @hroptatyr schon zeigte).

Wenn a · b = 1, dann a = 1/b. Aber 1/b = b-1

Also
y · (…) = 1
→ y = 1/(…)
→ y = (…)-1

wie du nun die Ableitung y’ bildest, hat @Der_Namenlose gezeigt.

Gruß
Metapher

.

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#8

Vielen Dank! Die Antwort ist klar und verständlich!
M. Knapp

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