Beweis für Injektion bzw. Surjektion

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Gemeinde,

ich suche nach hilfreichen Tipps oder Tricks mit denen man schnell und einfach mathematisch beweisen/zeigen kann, dass eine Funktion injektiv bzw. surjektiv ist.
Bislang zeichne ich mir (die einfachen Funktionen) einfach auf und überlege in wie weit Definitionsbereich und Bildbereich ausgefüllt werden etc., aber das ist dann immer ein bisschen wischi-waschi und würde ich gerne simple Methoden kennen klipp und klar sagen zu können: injektiv/surjektiv weil - bäm - bewiesen.

Freue mich schon auf eure Antworten.

LG

#2

Hallo,
nehmen wir an du hast eine Funtion f: X->Y
Dann bildest du zuerst die Umkehrabbildung (falls dies möglich ist). Wenn diese Umkehrabbildung f^-1 eindeutig ist (also nicht +/-x wie bei der Betragsfunktion), dann wäre das ja schon ein Beweis für die Injektivität.
Für Surjektivität setzt du die Umkehrabbildung f^-1 in deine Abbildung ein und untersuchst ob dabei die Identität von Y herauskommt.
Also f(f^-1(y))=idY

mfg
armer Tor

#3

Sehr cool! Einfach, macht Sinn, genau so wie ich es wollte, vielen Dank!

LG

#4

In der Algebra untersucht man immer Kerne und Kokerne der Funktion - geht natürlich nur für lineare Funktion.
Der Kern ist genau dann Null, wenn die Funktion Injektiv ist, der Kokern ist genau dann Null, wenn die Funktion surjektiv ist.
Der Homomorphiesatz bzw. Dimensionssatz sorgt dann dafür, dass man meistens nur eines von beiden untersuchen muss.

In allgemeiner Situation kommt man in der Regel direkt mit den Definitionen erstaunlich weit.

Beste Grüße
Zwergenbrot