Beweis Produktregel ∈ ℕ

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich habe eine Frage bezüglich des Beweises:
a,b,c ∈ ℕ. Dann gilt: Wenn a/b und c/d, dann (a*c)/ (b*d)

Ich hätte so angefangen:

  1. a/b ; c/d (Voraussetzung)
  2. a*k1= b (Def. (1))
  3. c*k2=d (Def. (1))
  4. a*k1+ c*k2= b+d ((2); (3))

jetzt weiß ich nicht wie ich zur Behauptung komme… -> (…) (a*c)/ (b*d)
bzw. folgt 4) Dann gleich auf die Behauptung?

Es wäre schön, wenn ihr mir helfen könntet!

#2

Hallo REM,
ich nehme an, dass zu den Voraussetzungen nicht nur gehört, dass a,b,c ∈ ℕ, sondern, dass das auch für d gilt, also a,b,c,d ∈ ℕ.
Deine ersten 3 Schritte sind völlig okay.
Im 4. Schritt musst Du nicht addieren, sondern multiplizieren:
a*k1* c*k2 = a*c*(k1*k2) = b*d
Die Umstellung wird Dir durch das Kommutativgesetz erlaubt.
Damit bist Du schon fertig!
Viele Grüße! Armin

#3

Oh, ok,vielen vielen dank! Irgendwie stand ich auf dem schlauch! LG Mary

#4

hi R.E.M.,

mir ist nicht ganz klar, worauf Du raus willst, denn Deine Frage ist ungenau/unpräzise gestellt. Ich vermute (!), Du willst/sollst zeigen, daß: Wenn a/b und c/d ∈ ℕ, dann auch (a*c)/(b*d) ∈ ℕ, aber das ist mehr geraten als gewußt. Hier fehlt die Hälfte!

Ansatz: Seien a, b, c, d (fehlt) ∈ ℕ. Wenn a/b ∈ ℕ (fehlt) und c/d ∈ ℕ (fehlt), dann gilt … ja, was soll genau gezeigt werden? (a*c)/(b*d) ∈ ℕ oder (a+c)/(b+d) ∈ ℕ oder noch was anderes? Ist nicht klar zu erkennen.

und bei

  1. a/b ; c/d (Voraussetzung) fehlt zweimal ∈ ℕ.
  2. Wenn a/b ∈ ℕ, dann gilt a/b = k1 oder a = b*k1, nicht a*k1 = b.
  3. siehe 2), gleicher Fehler
  4. ist komplett verwirrend. Hier untersuchst Du auf einmal a*k1 + (plus!) c*k2.

Humm … das ist etwas durcheinander. Wenn a/b = k1 ∈ ℕ und c/d = k2 ∈ ℕ, dann ist sowohl a/b + c/d als auch a/b * c/d = (a*c)/(b*d) ∈ ℕ trivial. Was soll genau gezeigt und welch Gesetze dafür angewendet werden?

Hier stimmt irgendwas grundsätzlich nicht. Bitte präzisieren!

viele Grüße, el bufalo.

#5

Hallo Mary!
Kein Problem…
Das geht mir manchmal auch so… :wink:
LG Armin

#6

Hi

für das nächste Mal, bitte definiere die Zeichen, die Du nutzt. Ich nehme mal an, das a/b heißen soll, dass a Teiler von b ist (meist als a|b) beschrieben? (und d Element N fehlt noch :wink:)

Dein Anfang ist schon gut, aber in Schritt 4 würde ich b und d ersetzen, d.h.

Teilt a*c dann b*d=k1*a * k2*c = K*a*c, mit K=k1*k2

damit bist du doch schon fertig, oder?

#7

Ich bin mir nicht mal sicher, was du beweisen willst, aber ich gehe mal davon aus, dass du (a/c)*(b/d)=(a*c)/(b*d) beweisen willst.

Der Beweis hängt immer auch ein wenig davon ab, was man schon von der Welt weiß. Die Aufgabe ist so eine Standard-Algebra-Fingerübung. Ich denke, dass Du nur von den Axiomen für die Mulitplikation (evtl erweitert mit der Definition des Bruches) ausgehen sollt.

Also forme (a/c)*(b/d) nur unter sauberer Verwendung von Assoziativgesetz und Freunden um.

T.

#8

Hallo,

ich denke der Beweis läuft ganz einfach über die Darstellung als Primfaktorzerlegung (jeweils die Exponenten betrachten), wenn die vorausgesetzt werden kann.

Viel Erfolg