Beweis von Rechenregeln

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo nochmal,

also ich habe da noch ein paar Fragen zum Beweisen von einfachen Rechenregeln.

Seien k,l € Z, m,n € N und definiere k/m := m^-1*k. Zeigen Sie

a) (m*n)^-1 = m^-1 * n^-1

b) (k/m) * (l/n) = (k*l)/(m*n)

c) (1/m) + (1/n) = (m+n) / (m*n)

Geben Sie in jedem Schritt die Eigenschaft des Körpers R an.

Also bei a) habe ich folgendes gemacht:

  1. multiplikative Eigenschaft mit der multiplikativen Inverse:

(m*n)^-1 * (m*n) = 1 und die rechte Seite m^-1 * n^-1 * m*n = 1

  1. dann die beiden gleichsetzen:

(m*n)^-1 * (m*n) = m^-1 * n^-1 * m*n

und jetzt halt m*n rauskürzen

Stimmt die erste Aufgabe so?

Bei b und c weiß ich leider nicht, wie ich auf die Lösung komme, kann mir da bitte jemand helfen?

und dann habe ich noch eine Aufgabe, wo ich auch nicht weiter komme.

M_n:= {m € N|m ungerade, 5 teilt nicht m, m

#2

moin;

warum verwendest du bei a) nicht einfach die Definition?
Bei deinem „Beweis“ hast du das Gesuchte auf das Gesuchte zurückgeführt (erweitert, dann wieder gekürzt mit dem gleichen Wert), müsstest jetzt also noch zeigen, dass das Gesuchte gilt.

(m\cdot n)^{-1}=\frac{1}{m\cdot n}=\frac{1}{m}\cdot \frac{1}{n}=m^{-1}\cdot n^{-1}

Bei b) und c) kommst du auch mithilfe der Definition und Kommutativität/Assoziativität auf das gesuchte Ergebnis.

mfG

#3

Hallo,

welche Definitionen meist du denn?

Danke für die Hilfe

#4

moin;

ich meine nur eine Definition, nämlich die, die du selber gegeben hast:

Seien k,l € Z, m,n € N und definiere k/m := m^-1*k.

Dass m*n das Gleiche wie m*n*1 ist, darüber müssen wir und doch wohl nicht streiten, oder?

mfG

#5

Achso, ok.

Ich steig aber irgendwie nicht dahinter, was man da jetzt genau erreichen will.

(k/m) * (l/n) = …nach der Definition kann man ja dann schreiben.

m^-1*k * n^-1*l = …jetzt kann ich ja eigentlich wieder die
Definition von oben benutzen, um dann auf

(k*l) / (m*n) …aber hab da irgendwie nirgends eine Eigenschaft
dese Körpers rauslesen können.

Wahrscheinlich ist das eh komplett falsch, ich check’s nicht.

#6

moin;

warum möchtest du denn auch die selbe Definition zwei mal hintereinander in umgekehrter Reihenfolge anwenden? Dann ist es doch klar, dass immer wieder das gleiche rauskommt.
Da du dir die Division aber grade erst definiert hast, kannst du darauf nicht arbeiten. Du wendest also die Definition an, um die Division auf die Multiplikation zu überführen, auf der wir nun arbeiten und sie umformen können.

\frac{k}{m}\cdot \frac{l}{n}=m^{-1}\cdot k\cdot n^{-1}\cdot l= m^{-1}\cdot n^{-1}\cdot k\cdot l=\dots

mfG

#7

OK, vielleicht so:

(k/m)*(l/n) =

  1. Definition benutzen (k/m:=m^-1*k):

= m^-1*k*n^-1*l

  1. Kommutativitgesetz:

= m^-1*n^-1*k*l

  1. Assoziativgesetz:

=(m^-1*n^-1) * k*l

…stimmt das bis hierhin? Jetzt weiß ich allerdings nicht genau, wie ich weitermachen soll.

Bei der Nummer c habe ich jetzt folgendes versucht

(1/m) + (1/n) = (m+n) / (m*n)

  1. Definition benutzen (k/m:=m^-1*k):

=m^-1 + n^-1 =

  1. Distributivgesetz:

= (m^-1*n^-1) * (n+m)

Jetzt habe ich das so ähnlich wie bei Beispiel 2.

Kann ich da jetzt laut Definition die ^-1 nach unten ziehen, dass
da steht:

(1/(m*n)) * (n+m)

Darf ich das jetzt bei beiden machen?

Dann steht also bei Beispiel 2:

=(1/(m*n)) * k*l

Und bei Beispiel 3:

(1/(m*n)) * (n+m)

Und dann kann ich die Multiplikationen noch auf den Bruchstrich schieben? Gibt es da eine Eigenschaft eines Körpers, die das beschreibt, oder hab ich da wieder einen Fehler drin?

Danke für die Hilfe

#8

Hallo,

also ich habe da noch ein paar Fragen zum Beweisen von
einfachen Rechenregeln.

Seien k,l € Z, m,n € N und definiere k/m := m^-1*k. Zeigen Sie

a) (m*n)^-1 = m^-1 * n^-1

Also bei a) habe ich folgendes gemacht:

  1. multiplikative Eigenschaft mit der multiplikativen Inverse:
    (m*n)^-1 * (m*n) = 1

Das ist die Behauptung, keine Voraussetzung.

und die rechte Seite m^-1 * n^-1 * m*n = 1
2) dann die beiden gleichsetzen:
(m*n)^-1 * (m*n) = m^-1 * n^-1 * m*n
und jetzt halt m*n rauskürzen
Stimmt die erste Aufgabe so?

Nein, das ist kein mathematischer Beweis

(m*n)^-1 ist das multiplikativ-inverse Element zu m*n (siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Inverses_Element). Da dieses Element eindeutig ist reicht es zu zeigen, dass (m^-1 * n^-1) * (m*n) = 1 ist. Denn dann ist (m^-1*n^-1) invers zu (m*n), also nach Definition (m*n)^-1 Dabei sind m^-1 das inverse Element zu m und n^-1 das inverse Element zu n. Für den Beweis brauchst Du das Assoziativgesetz sowie das Kommutativgesetz.

b) (k/m) * (l/n) = (k*l)/(m*n)

(k * m^-1) * (l * n^-1)
= k * (m^-1 * (l * n^-1)) Assoziativgesetz
= k * ((l * n^-1) * m^-1) Kommutativgesetz
= k * (l * (n^-1 * m^-1)) Assoziativgesetz
= (k * l) * (n^-1 * m^-1)) Assoziativgesetz
= (k * l) * (m^-1 * n^-1)) Kommutativgesetz
= (k * l) * (m*n)^-1) Aufgabe a)

c) (1/m) + (1/n) = (m+n) / (m*n)

1 * m^-1 + 1 * n^-1
= (n * n^-1) * m^-1 + (m * m^-1) * n^-1 Inverses Element
Nun umformen mit dem Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und Distributivgesetz sowie Aufgabe a), dann kommst Du auf
= (m + n) * (m*n)^-1

und dann habe ich noch eine Aufgabe, wo ich auch nicht weiter
komme.

M_n:= {m € N|m ungerade, 5 teilt nicht m, m

#9

moin;

nochmal assoziativ: =(m^-1*n^-1) * (k*l)
und dann kannst du doch wieder die Definition anwenden.

bei 3. bist du zu schnell unterwegs… wie kommst du von m^-1+n^-1 auf (m^-1*n^-1) * (n+m)? das müsstest du erstmal noch zeigen. Versuche doch, den Ursprungsbruch zu erweitern.

mfG