Hallo!
Ich habe Probleme, eine Formel für die rekursive Definition von B-Splines zu beweisen.
Ich möchte natürlich keine Lösung, da es sich um eine Hausaufgabe handelt.
Allerdings komme ich hier nicht wirklich weiter und hoffe, dass ich mir vor dem 22.1 vielleicht einen Tipp geben könntet.
\frac{d}{dx}B_i^k(x)=\frac{k}{x_{i+k+1}-x_i}\big(B_i^{k-1}(x)-B_{i+1}^{k-1}(x)\big)
mit
B_i^k(x)=\frac{x-x_i}{x_{i+k+1}-x_i}B_i^{k-1}(x)+\frac{x_{i+k+1}-x}{x_{i+k+1}-x_i}B_{i+1}^{k-1}
und
B_i^0(x)=\frac{1}{x_{i+1}-x_i} , wenn~x\in]x_i,x_{i+1}]
Ich hatte jetzt vor den Beweis über vollständige Induktion zu führen, also k=0 und 1 explizit und dann k->k+1 mit vorraussetzung, dass die Ableitungsfunktion für kleinere k bereit stimmt. Ableiten kann man dann über Produkt-Regel.
Nur erhalte ich dann einmal das gewünschte, jedoch nicht mit k im Zähler, sondern mit 1 und einer längeren Summe…
\frac{d}{dx}B_i^{k+1}(x)=\frac{1}{x_{i+k+1}-x_i}\big(B_i^k(x)-B_{i+1}^k(x)\big)+\frac{x-x_i}{x_{i+k+1}-x_i}\frac{k}{x_{i+k+1}-x_{i}}(B_i^{k-1}(x)-B_{i+1}^{k-1}(x))+\frac{x_{i+k+1}-x_i}{x_{i+k+1}-x_i}\frac{k}{x_{i+k+2}-x_{i+2}}(B_{i+1}^{k-1}(x)-B_{i+2}^{k-1}(x))
Mir fällt da schwer zu sehen, wie die beiden summanden da die fehlenden k-1 vom ersten Term ergeben können… Ist der Ansatz überhaupt zielführend?
mit freundlichen Grüßen
Julian