Hallo Tokoma,
wenn der Geschäftsführer die alleinige Entscheidungsgewalt hat, dann sollte es nur noch um Deine Daten für die Verwaltung/Personalakte gehen, also den Lebenslauf und Zeugnisse. Hat er wirklich „Bewerbung“ gesagt?
Wenn er nicht die alleinige Entscheidungsgewalt hat, ist das etwas heikel, denn vielleicht hat er Dir gegenüber den Mund zu voll genommen.
Ich würde eine Bewerbung schreiben, am Besten mit Ansprache des GFs, und ihn an seine Zusage erinnern: „Sehr geehrter Herr XY, wie bereits persönlich mit Ihnen besprochen, überreiche ich Ihnen hiermit meine Bewerbungsunterlagen für die Position des ABC. Falls Sie noch weitere Dokumente für die Vertragserstellung benötigen, stehe ich Ihnen gern zur Verfügung. Mit freundlichen Grüßen“ und an ihn persönlich adressieren. So kompromittierst Du ihn nicht, falls er zu viel versprochen hat.
Viel Glück!