Mit CD-Hüllen geht’s noch anschaulicher: Wenn ich zwei CDs übereinander stapele, kann ich die obere bis kurz vor die Hälfte rüberschieben, ohne dass was kippt. Bei 3 CDs kann die Obere schon deutlich (im Vergleich zur Unteren) über die Hälfte rüberragen…,nehme ich 20 CDs und stapele entsprechend, ragt die gesamte(!) obere CD schon deutlich über die Grundfläche hinaus. Wie weit kann ich das theoretisch treiben, wenn ich 1000 CDs oder unendlich viele nehme. Gibt es eine Formel (bestimmt gibt es die), die mir sagt, wie ich in jedem Fall optimal stapeln muss, um bei gegebener Anzahl den maximalen Überstand zu erreichen?
Guten Rutsch trotzdem !
Hi…
Wie weit kann ich das theoretisch treiben, wenn ich 1000 CDs
oder unendlich viele nehme. Gibt es eine Formel (bestimmt gibt
es die), die mir sagt, wie ich in jedem Fall optimal stapeln muss,
um bei gegebener Anzahl den maximalen Überstand zu erreichen?
Das geht (mathematisch) am einfachsten, wenn man von oben nach unten stapelt. Die zweite Scheibe muß dann so liegen, daß der Schwerpunkt der ersten Scheibe über ihr liegt. Bei gleichmäßigen Kreischeiben heißt das: Der Mittelpunkt der ersten muß gerade so noch über der zweiten liegen.
Die folgenden Scheiben müssen immer so liegen, daß der Schwerpunkt des gesamten bisher fertigen Turms über ihnen liegt.
Fangen wir oben mit 0 zu zählen an, so kann, wenn ich nicht ganz falsch denke, die Scheibe n gegen die Scheibe n-1 maximal um r/n versetzt werden (bzw. in der Realität minimal weniger).
Jetzt drehen wir den Spieß um und bauen den Turm, wie es sich gehört, von unten her. Wir legen also Scheibe n auf den Boden, Scheibe n-1 um r/n versetzt darauf, und so weiter. Bei 1000 Scheiben mit 10 cm Durchmesser wären das 5cm/1000 = 0,05 mm. Die nächste wird um 5cm/999 versetzt, und so weiter.
Die Reihe
Summe { 1/n }
ist divergent, d.h. mit unendlich vielen Scheiben ist ein unendlicher Überstand möglich. Bei 100 Scheiben ist die oberste schon um mehr als vier Radien gegen die unterste versetzt, bei 1000 um 6,5 - wenn denn jemand die Geduld und das Fingerspitzengefühl hat, auf hundertstel mm genau zu stapeln.
genumi
Tach,
Formel weis ich gerade keine, aber solange der Schwerpunkt sich (senkrecht projeziert) innerhalb der Grundfläche befindet bleibt dein Turm stehen, egal was du stapelst.
guten Rutsch, aber nicht übers Ziel hinausrutschen
ciao slam
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Dankeschön !
Herzlichen Dank für die genaue Antwort. Ich ärgere mich bloß, dass ich nicht wenigstens auf die geniale „von oben“ Bauweise selbst gekommen bin.
Einen guten „Überhang“ zum nächsten Jahr
Wünscht Klaus
Hi,
die Reihe ist eher konvergent denn divergent.
Denn Du musst nicht nur den Gesamtschwerpunkt des Turmes betrachten.
Sondern auch alle Teilschwerpunkte, die entstehen, wenn man den Turm an beliebiger Stelle teilt. Sonst fällt der Turm irgendwo in der Mitte um. Es sein denn, man verklebt die Deckel…
Genau genommen müsste man auch berücksichtigen, dass Bierdeckel komprimierbar sind, dh. auf der Lastseite zusammengedrückt werden, somit wird der Turm geringfühig eher umfallen als theoretisch berechnet
A.
Wenn ich
Hi…
Denn Du musst nicht nur den Gesamtschwerpunkt des Turmes
betrachten.
Sondern auch alle Teilschwerpunkte, die entstehen, wenn man
den Turm an beliebiger Stelle teilt.
Das hatte ich gemeint, nur möglicherweise nicht klar genug formuliert. Egal, in welcher Höhe man den Turm teilt, der Schwerpunkt des oberen Teilturms muß in (bzw. über) der Fläche der darunterliegenden Scheibe ( = obere Fläche des unteren Teilturms liegen). Genau dieses Ergebnis bekommt man, wenn man den Turm nach der gegebenen Vorschrift baut.
Genau genommen müsste man auch berücksichtigen, dass
Bierdeckel komprimierbar sind, dh. auf der Lastseite
zusammengedrückt werden, somit wird der Turm geringfühig eher
umfallen als theoretisch berechnet
Ja. Irgendwann würden auch CDs oder Stahlscheiben soweit verformt, daß es zum vorzeitigen Kollaps kommt…
Nebenbei: Der triviale Turm aus 2 Scheiben versetzt um einen Radius. Für einen Versatz von zwei Radien braucht man schon 10, für 10 Radien 33617 Scheiben - bei CDs eine halbe Tonne 
genumi