Bildliche Herleitung der Dreieckszahlen!

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo an Alle,

meine Tochter beschäftigt sich gerade mit den Dreieckszahlen,dies bereitet ihr allerdings Schwierigkeiten! Ich möchte ihr gerne die Formel mit einer bildlichen Herleitung näher bringen!
An dieser Stelle bin ich allerdings ratlos…habe es zuvor mit einer Verdoppelung der Dreieckszahlen versucht,komme jedoch nicht weiter!

Die Formel: n(n+1)/2

#2

Hallo,

Die Formel: n(n+1)/2

schau Dir diesen Stapel für n = 8 an:

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Wieviele Lagen hoch ist der Stapel (zuerst für n = 8, dann für allgemeines n), und wie breit ist er? Wieviele Kugeln enthält er also insgesamt? Wie groß ist der Anteil an weißen und schwarzen Kugeln daran? Wieviele schwarze Kugeln enthält der Stapel also?

Reicht das als Hilfestellung?

Gruß
Martin

#3

Lieber Martin,

danke für deine Bemühungen!
Ich kann nur leider nicht erkennen, wie ich ihr aus dieser Abbildung heraus die Formel für die Bildung der Dreieckszahlen erläutern soll /kann!

#4

Schau Dir diesen Stapel an:

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Frage: Aus wievielen Kugeln besteht der Stapel? Antwort: Einerseits sind es 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 Stück, andererseits 8 · (8 + 1)/2 Stück.

Dass er aus 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 Kugeln besteht, ist unmittelbar zu erkennen. Die Dreiecksgestalt des Stapels ist ja auch der Grund, warum Zahlen der Form 1 + 2 + … + n Dreieckszahlen genannt werden (beachte: Gemessen in Kugel-Anzahlen hat jede Seite des Stapeldreiecks die Länge 8).

Dass man die Zahl der im Stapel enthaltenen Kugeln auch als 8 · (8 + 1)/2 ausdrücken kann, sieht man ebenfalls schnell ein. Man muss nur einen zweiten, identischen Stapel aus weißen Kugeln bauen, ihn kopfüberdrehen (das geht, wenn man alle Kugeln vorher mit UHU aneinanderklebt) und auf den schon vorhandenen draufsetzen. Ergebnis:

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Was kann man über diesen erweiterten Stapel aussagen? Nun, er ist rechteckig, er besteht aus 8 „Spalten“ und die Zahl der „Zeilen“ ist genau eine mehr, also 8 + 1. Also enthält der Stapel insgesamt 8 · (8 + 1) Kugeln. Da genau die Hälfte davon weiß und die andere schwarz sind, wissen wir die Zahl der schwarzen Kugeln im Stapel: Es sind 8 · (8 + 1)/2 Stück.

Damit ist eingangs gegebene Antwort bewiesen:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = \frac{8 (8 + 1)}{2}

Da aber für andere Zahlen als 8 alles richtig bleibt, gilt für jede Zahl n:

1 + 2 + … + n = \frac{n (n + 1)}{2}

In Worten: Der Wert der n-ten Dreieckszahl 1 + 2 + … + n ist n (n + 1)/2.

Das war jetzt aber genug Erklärung, oder?

http://de.wikipedia.org/wiki/Dreieckszahl

Martin

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