Binomialverteilung

Wissenschaft Mathematik
#1

Ich habe im Moment in Mathe (Klasse 8; Gymnasium) das Thema Binomialverteilung. Ich kenne zwar die Formel P(X=k)=(n über k)*p^k*(1-p)^n-k ,weiß aber nicht wie ich in der Textaufgabe: Ein Würfel wird 60 mal geworfen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

A: Man wirft genau 10 mal die 6.

B: Man wirft mindestens 10 mal die 6.

C: Man wirft höchstens 10 mal die 6.

D: Die Anzahl der geworfenen Sechser liegt zwischen 6 und 12 einschließlich.

k ermittelt.

wenn mir irgentjemand helfen könnte, würde ich mich sehr freuen.
Danke schonmal im voraus.

MfG cr4zy

#2

Das alles mit der Formel auszurechnen, ist ziemlich mühsam; habt ihr kein Tafelwerk dazu, mit dem ihr arbeitet? Für B bis D braucht man Summen von Werten, die stehen in einem solchen Tafelwerk drin, man muss nur wissen, wo und wie man sie abliest.

Zumindest A geht aber direkt - da musst du ja nur in die Formel einsetzen! n (die „Länge der Bernoulli-Kette“, also wie oft man den Versuch durchführt) ist hier ja 60, k (die „Anzahl der Treffer“) ist 10 (das musst du also nicht „ermitteln“, das steht ja direkt dran), und p sollte dir für „eine 6 würfeln“ eigentlich klar sein…

Zur Kontrolle: Das Ergebnis bei A ist etwa 0,137.

Bei B braucht man P(X=10) + P(X=11) + … + P(X=60); das ist ohne Tafelwerk praktisch nicht sinnvoll machbar. (man könnte aber die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ausrechnen, das wäre wohl gerade noch machbar)

Bei C braucht man P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=10); auch das ist sehr aufwendig.

Bei D: P(X=6) + … + P(X=12); ist noch machbar.

#3

In P(X=k)=(n über k)*p^k*(1-p)^(n-k) ist
n=60;     p=P(Sechs)=1/6;    
Bei A: k=60-10=50
Bei B: P(Man wirft mindestens 10 mal die 6) = 1-P(Man wirft höchstens 9 mal die 6)
= Summe( (n über k)*p^k*(1-p)^(n-k) ) von 0 bis 9
Bei C: P(Man wirft höchstens 10 mal die 6) = Summe( (n über k)*p^k*(1-p)^(n-k) ) von 0 bis 10
Bei D: P(Die Anzahl der geworfenen Sechser liegt zwischen 6 und 12 einschließlich)= Summe( (n über k)*p^k*(1-p)^(n-k) ) von 6 bis 12

#4

Hallo,
das Thema ist ziemlich komplex und ich weiß nichts über deine Vorkenntnisse.
Schau doch mal auf die Seite www.poissonverteilung.de
Dort ist das Thema ziemlich gut erklärt, finde ich.
Gruß
thomas88400

#5

zu A: P(X=10) =(60 über 10)*((1/6)^10)*(5/6)^(60-10)
Den Rest macht der Taschenrechner
zu C: (In dieser Reihenfolge ist das Ganze einfacher)
P(X=10)= 1 - P(X

#6

Hallo erstmal,

der Wikipediaartikel sei bekannt: http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung

Ein Würfel hat 6 Seiten, je eine Seite heisst p=1/6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende :Ereignisse:

Nur die Ansätze (hoffentlich nicht zu hemdsärmelig), da kein Taschenrechner zur Verfügung:

A: Man wirft genau 10 mal die 6.

P(X=10), n=60, k=10, n-k=50, 1-p = 5/6

Bei B,C,D dann die Werte für n und k anpassen.

B: Man wirft mindestens 10 mal die 6.

Heisst P(X=10) + P(X=11) + … + P(X=60)
Über die Gegenwahrscheinlichkeit: 1 - (P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=9))

C: Man wirft höchstens 10 mal die 6.

Wie eben nur der Ausdruck in der Klammer

D: Die Anzahl der geworfenen Sechser liegt zwischen 6 und 12
einschließlich.

P(X=6)+…+P(X=12)

MfG

#7

Hallo,
definiere „eine 6 würfeln“ als Treffer, dann gilt für A: k=10
B: k>9
C: k

#8

Hallo cr4zy4fun,

wenn Du mehrere gleichartige und unabhängige Versuche durchführst (in Deinem Beispiel sind das mehrere Würfe mit dem Würfel) und Du dann Deine jeweiligen Ergebnisse in lediglich zwei Kategorien nämlich „Erfolg“ und „Misserfolg“ einsortieren kannst, dann gibt Dir die Binomialverteilung die Anzahl der „Erfolge“ an.

Wie kann man dies nun für Deine Aufgabe sinnvoll nutzen?

Für die Aufgabe heißt das jetzt, dass Du das Würfelexperiment gedanklich erstmal so formulieren musst, dass die Ergebnisse in der Form „Erfolg“ bzw. „Misserfolg“ erscheinen.

Hier ist es so, dass es bei einem Wurf ein „Erfolg“ ist, wenn eine 6 gewürfelt wird und es ein „Misserfolg“ ist, wenn eine der Zahlen zwischen 1 und 5 herauskommt.
Die Wahrscheinlichkeit bei einem Wurf für „Erfolg“ ist also p=1/6 und für „Misserfolg“ (1-p)=1-1/6=5/6

Falls ihr Baumdiagramme schon hattet, könnte man jetzt theoretisch ein mehrstufiges zeichnen, zuerst mit zwei Armen „6“ und „nicht 6“ für den ersten Wurf, dann an jedes Ende wieder je zwei Möglichkeiten für den zweiten Wurf usw. Bei 60 Würfen gäbe es dann am Ende ziemlich viel Zweige (etwas mehr als 1,15 Trillionen - was das Zeichnen dann doch etwas unpraktisch macht). Allerdings könnte man jetzt jeden Zweig entlang gehen, der die jeweiligen Ereignisse aus Deiner Aufgabe betrifft.

Dann würde man sehen, dass alle möglichen Zweige für Ereignis A die sind, bei denen man 10 mal Erfolg und 50 mal „Misserfolg“ hatte. Daher auch p^k=(1/6)^10 und (1-p)^(n-k)=(1-1/6)^(60-10)=(5/6)^50.
Die Wahrscheinlichkeit für EINEN solchen Zweig ist also p^k(1-p)^(n-k)=(1/6)^10*(5/6)^50 = 1,81…*10^(-12)
Jetzt gibt es aber sehr viele solcher Wege, die alle diese Wahrscheinlichkeit besitzen.

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A ist nun die Anzahl aller dieser möglichen Wege mal ihrer Wahrscheinlichkeit geteilt durch die Anzahl ALLER Wege

p(A) = (Anzahl möglicher Wege)/(Anzahl aller Wege) * p(eines Weges)

Der Faktor (n über k) gibt nun genau dieses Verhältnis „Mögliche Wege durch alle Wege“ an.

p(A) = (60 über 10) * (1/6)^10 * (5/6)^50

Wolframalpha ergibt dann:

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=Binomial60%2C+…

p(A)=0,137… Also eine Wahrscheinlichkeit von ca. 13,7% für Ereignis A

Ereignis B und C hängen zusammen.

Um p© zu berechnen, muss man die Wahrscheinlichkeiten folgendermaßen addieren: p©=p(1 mal 6 werfen)+p(2 mal 6 werfen)+p(3 mal 6 werfen)+… +p(10 mal 6 werfen).

Für jede einzelne Wahrscheinlichkeit geht man vor wie beim Ereignis A, also:

p(0) = (60 über 0) * (1/6)^0 * (5/6)^60 = 0,000017747

p(1) = (60 über 1) * (1/6)^1 * (5/6)^59 = 0,000212964

…

Bekommt man auch bei Wolframalpha:
[http://www.wolframalpha.com/input/?i=PDFBinomialDis…

In der Summe kommt dann p©=0,583… heraus

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum+i%3D0+to+10…

Die Wahrscheinlichkeit für B ist dann die Gegenwahrscheinlichkeit für C plus die Wahrscheinlichkeit für A:
p(B)=(1-p©)+p(A) = 1-0,583+0,137=0,554

Ereignis D wird genauso berechnet: Wieder summiert man die Einzelwahrscheinlichkeiten auf, diesmal von 6 bis 12. Auch das wieder von Wolframalpha ergibt dann:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum+i%3D6+to+12…

p(D)=p(6)+p(7)+…+p(12)=0,758…

Hoffe das hilft Dir weiter.

Schöne Grüße,

dacem

P.S.: Hier gibts noch eine gute Übersicht über die verschiedenen Möglichkeiten bei Binomialproblemen:

http://brinkmann-du.de/mathe/gost/stoch_01_11.htm

#9

Moin.

Hilfreicher Tipp: Lies (n über k) als „k aus n“.

Fangen wir mal mit A an.
Da sollen also „10 aus 60“ Würfen eine 6 zeigen.
p für eine 6 ist 1/6 (fairer Würfel = Laplace-Würfel vorausgesetzt)
und soll in 10 Fällen auftreten.
1-p ist dann 5/6 und soll in 60-10=50 Fällen auftreten.
Dann nimm die Formel:
P(X=10) = (n über k)*p^k*(1-p)^n-k
= (10 aus 60)*(1/6)^10*(5/6)^50
=(60 über 10)*(1/6)^10*(5/6)^50 = 0,137.

Als nächstes würde ich C rechnen.
Das geht nur in Handarbeit (mit Taschenrechner):
Höchstens 10 Sechsen ist keine oder eine oder zwei … oder 10 Sechsen.
P(X=10), d.h. mindestens 10 Sechsen.
Das lässt sich zusammensetzen aus genau 10 oder mehr als 10 Sechsen:
P(X>=10) = P(X=10)+P(X>10).
P(X=10) hast du in A berechnet.
P(X>10) ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu P(X10) = 1 - P(X

#10

hallo crazy,

du musst die Wahrscheinlichkeiten für mehrere k addieren. höchstens drei Sechsen wäre etwa die Wahrscheinlichkeiten für k gleich 0, k gleich 1, k gleich 2 und k gleich 3 addiert.
wenn die das nicht hilft und du die Aufgabe a nicht sicher lösen kannst, dann empfehle ich dir, im echten leben Hilfe zu holen

viel Erfolg

#11

weißt du auch, was diese Formel bedeutet?
p ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer. hier also 1/6
n ist die Anzahl der gleichen Zufallsexperimente, die insgesamt durchgeführt werden, hier also 60.
k ist die Anzahl der Treffer, die bei n Versuchen erzielt werden. hier also abhängig von der Aufgabe unterschiedlich.
Insgesamt bedeutet das also für A z.B.:
P(X=6) ist die W., dass bei 60 Würden genau 6 mal ein Treffer eintritt, wobei die Trefferwahrscheinichkeit 1/6 ist.

Damit solltest du dir die Teilaufgaben zusammenreimen können:
A: P mit n=60 und p=1/6 (X=10)
B: P mit n=60 und p=1/6 (X=10) + P(X=11)+P(X=12)+…+P(X=60)
oder kürzer mit dem Gegenereignis:
P(B)= 1- (P(X=1)+P(X=1)+…+P(X=9))

P© solltest du mit hilfe von B selbst rausbekommen.

P(D) musst du dann auch einzeln zusammenaddieren.

Viel Spaß
Frank

#12

Hallo,

in der Materie kenne ich mich zu wenig aus, um ohne großen Aufwand eine qualifizierte Antwort geben zu können.

Sorry
funnyjonny

#13

Hallo.

Da der Würfel (oder wie in diesem Fall der Laplace-Würfel, also ein fairer Würfel), absoluter Standard ist, suche mal im Netz nach „Wahrscheinlichkeitsrechnung Würfel“ - dort findest Du jede Menge und auch den Anstoss, wie Du die Aufgaben rechnen kannst, z.B. http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/wahr…

Viel Erfolg.

#14

Guten Abend,
am einfachsten ist die Verwendung des Taschenrechners oder der entsprechenden Tabellen im Tafelwerk. Natürlich ist die Berechnung auch per Hand unter Verwendung der Formel möglich:
P(A)= P(X=10)=(60 über 10)*(1/6)^10*(5/6)^50

P(B)= P(X=10))+P(X=11)+…P(X=60)= 1-P(X