Binomialverteilung Schulbeispiel

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe Leute!
Ich habe eine Frage zu den Wahrscheinlichkeiten. Folgendes Beispiel:

" Franz und Susanne spielen gemeinsam als Kandidatenpaar in einer Fernsehshow. Als Sieger der Vorrunde müssen sie schließlich einen Golfball in ein 9m entferntes Golfloch spielen. Das Paar hat 4 Versuche. Geling es wenigstens 3 mal zu treffen, gewinnt das Paar ein Auto. Erfahrungsgemäß weiß man: Bei jedem Versuch trifft Franz mit einer WS von 0,6 und susann mit einer WS von 0,8."

a) Franz schlägt den Ball vier mal. berechne die WS, dass er höchstens zweimal bzw. beim letzten Versuch trifft. [52,8%; 3,84%]

Hier meine erste Frage: Warum stimmt die Lösung 52,48% nicht? Ich habe mit Binomialverteilung (Grundwahrscheinlichkeit 0,6) die Summe für 0,1 und 2 Treffer berechnet. (Meine Teillösungen:0,0256; 0,1536; 0,3456)
Und wie kommt man auf 3,84%? Wenn ich logisch überlege muss doch dafür 60% (denn egal wie die ersten 3 Versuche ausgehen, es zählt nur der vierte) rauskommen?

b) Nach den Spielregeln der Fernsehshow erhält jeder Kandidat/in genau 2 Versuche. Die Reihenfolge wird ausgelost. Werden in den erseten 3 Versuchen bereits drei Treffer erzielt, wird das Spiel abgebrochen. Durch Losentscheid wird die Startreihenfolge Susanne-Susanne-Franz-Franz festgelegt. Berechne für diesen Fall den Erwartungswert der Anzahl der Versuche. [3,6169

Hier weiß ich überhaupt nicht, wie ich anfangen soll. Erwartungswert is n*p, nur das dürfte etwas komplizierter sein. Dass es ein 3,-Wert werden muss ist mir klar.

Vielen Dank bereits im Voraus für eure Antworten.

Lg., Philipp

#2

Hallo,

bei der ersten Aufgabe komme ich auch auf die 52,48%. Wahrscheinlich ist die Differenz auf Rundungsfehler zurückzuführen.
Die angegebenen 3,84% sind aber für die Aufgabe, so wie sie da steht, falsch. Wahrscheinlich soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass er erst im letzten Versuch trifft. Dann sind die 3,84% richtig.
Um den Erwartungswert zu berechnen, multiplizierst du alle möglichen Ergebnisse mit deren Wahrscheinlichkeit und summierst das ganze. Im Beispiel können zwei Ergebnisse entstehen - 3 Versuche und 4 Versuche. Die Wahrscheinlichkeit für 3 Versuche ist 0,8*0,8*0,6; die für 4 Versuche entsprechend das Komplement. Insgesamt ergibt sich also für den Erwartungswert:
0,8*0,8*0,6*3+(1-0,8*0,8*0,6)*4=3,616

Nico

#3

Hallo,

Im Beispiel können zwei Ergebnisse entstehen - 3 Versuche und 4 Versuche. Die
Wahrscheinlichkeit für 3 Versuche ist :0,8*0,8*0,6; die für 4 Versuche entsprechend das
Komplement. Insgesamt ergibt sich also für den Erwartungswert:
0,8*0,8*0,6*3+(1-0,8*0,8*0,6)*4=3,616

dem muss aber heftig widersprochen werden: Die „entsprechend das Komplement“-Argumentation ist nicht zulässig! (Ein Fehler, der allerdings auch dem Aufgabenautor offensichtlich unterlaufen sein muss… ohje)

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „das Kandidatenpaar holt den Gewinn mit genau 4 Schlägen“ beträgt

w4 = 0.8·0.8·0.4·0.6 + 0.8·0.2·0.6·0.6 + 0.2·0.8·0.6·0.6 = 0.2688

aber daraus den Schluss zu ziehen, der Gewinn-Erwartungswert betrüge

3 · (1 – 0.2688) + 4 · 0.2688 = 3.2688

wäre gleichsam falsch, was auch der Grund für die voneinander abweichenden Ergebnisse ist.

Der korrekte bedingte, d. h. auf den Gewinnfall eingeschränkte Erwartungswert ergibt sich zu

\frac{3 w_3 + 4 w_4}{w_3 + w_4} = 3.4117647…

mit w3 = 0.8·0.8·0.6 und w4 = … siehe oben.

Gruß
Martin

PS: Es geht aus dem Aufgabentext nicht mal hervor, welcher Erwartungwert genau gesucht ist, d. h. der auf den Gewinnfall eingeschränkte oder einfach nur der Erwartungswert ohne Vorbedingungen irgendwelcher Art. Alles in allem eine ärgerlich schlampig gestellte Aufgabe.

#4

Hallo Martin,

Im Beispiel können zwei Ergebnisse entstehen - 3 Versuche und 4 Versuche. Die
Wahrscheinlichkeit für 3 Versuche ist :0,8*0,8*0,6; die für 4 Versuche entsprechend das
Komplement. Insgesamt ergibt sich also für den Erwartungswert:
0,8*0,8*0,6*3+(1-0,8*0,8*0,6)*4=3,616

dem muss aber heftig widersprochen werden: Die „entsprechend
das Komplement“-Argumentation ist nicht zulässig! (Ein Fehler,
der allerdings auch dem Aufgabenautor offensichtlich
unterlaufen sein muss… ohje)

Ich sehe in der ganzen Aufgabe keinen Hinweis darauf, dass nur der Gewinnfall berücksichtigt werden soll. Es soll der Erwartungswert der Anzahl der Versuche ermittelt werden. Das heißt, wenn die ersten drei Versuche gelingen, gibt es insgesamt 3 Versuche, andernfalls gibt es vier Versuche. Auch wenn alle vier Versuche daneben gehen, bleiben es vier Versuche. Warum die Aufgabe unnötig kompliziert machen indem man willkürliche Vermutungen reininterpretiert?
Dass die Aufgabe insgesamt nicht ganz lupenrein gestellt ist, habe ich ja für den ersten Teil schon eingeräumt. Für den Erwartungswert sehe ich hier aber keinen Interpretationsspielraum.

Nico

#5

Auch wenn alle vier Versuche daneben gehen, bleiben es vier Versuche.

OK, ich seh den Punkt: Laut Spielregel wird das Spiel abgebrochen, nachdem 3 Treffer erzielt wurden, aber es soll anscheinend in allen anderen Fällen bis zur Versuchsanzahl 4 fortgeführt werden. Also insbesondere auch dann, wenn z. B. nach zwei oder drei Versuchen schon feststeht, dass der Gewinn nicht mehr erzielt werden kann, weil zwei der Versuche danebengegangen sind. Ich würde eine solche Regelung zwar für etwas inkonsequent halten, aber die Aufgabe ist wohl tatsächlich so zu verstehen. Dann ist Deine Rechnung und das 3.616-Ergebnis richtig.

Warum die Aufgabe unnötig kompliziert machen indem man willkürliche Vermutungen reininterpretiert?

Na, damit die Aufgabe nicht so lasch ist… :wink:

Danke für die Antwort
Martin

#6

Vielen Dank für eure tollen Antworten, jetzt ist alles klar. Danke