Und das ist die offizielle Lösung:
f(x) = (x-xn)^2 * (x)
Das ist schon mal nicht wirklich toll, denn nun sieht es mit dem (x) so aus, als läge die dritte Nullstelle bei x=0; außerdem wurde das a vergessen.
Besser/Vollständiger wäre also:
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = a * (x-xn)^2 * (x-xm)
xm wäre dann die andere (einfache) Nullstelle.
Auch das könnte man zusammenfassen in
f(x) = a * (x-xn)^2 * (x-xm) = (x-xn)^2 * a *(x-xm) =
(x-xn)^2 * g(x)
vereinfacht mit g(x) = a *(x-xm) weil uns der Inhalt von g(x) für alles weitere nicht besonders interessiert.
Wie die Produktregel funktioniert, weißt Du vermutlich:
Ableitung des ersten Faktors mal zweiter Faktor plus erster Faktor mal Ableitung des zweitenfakors.
Bleibt die Frage, wie man (x-xn)^2 ableitet. Das geht nach der Kettenregel:
[(x-xn)^2]’ = 2(x-xn) * 1^2 = 2(x-xn)
f’(x) = 2(x-xn) * g(x) + (x-xn)^2 * g’(x)
genau so.
g(x) interessiert nicht, g’(x)=a auch nicht wirklich.
Jetzt wurde (x-xn) ausgeklammert
f’(x) = (x-xn) * ( 2g(x) + (x-xn) * g’(x) )
Was das nützen soll, weiß ich auch nicht.
Vielleicht, damit man es einfacher hat, falls man nochmal ableiten will (z. B. für die hinreichende Bedingung).
In beiden Zeilen sieht man jedenfalls, dass die gesamte erste Ableitung f’(x) für x=xn Null wird.
Das ist die notwendige Bedingung für ein Extremum.
