Hallo,
Wäre nett wenn mit jemand helfen könnte.
Ich muss beweisen, dass eine doppelte Nullstelle einer ganzrationalen Funktion immer eine Extremstelle ist.
Mein Ansatz ist also die Funktioen :
f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
Nur weiß ich nicht wie ich da jetzt einen Bezug zur Aufgabenstellung finde… wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
Liebe Grüße und ein Danke,
Andrilla.
Ich muss beweisen, dass eine doppelte Nullstelle einer
ganzrationalen Funktion immer eine Extremstelle ist.
Das stimmt, wenn es eine doppelte, 4-fache usw. Nullstelle ist. Bei 3-, 5-faacher usw. Nullstelle gibt es dort kein Extremum. Beispiel: f(x)=x³
Mein Ansatz ist also die Funktioen :
f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
Liebe Grüße und ein Danke,
Andrilla.
Ein möglicher Beweis (ganz ohne Ableitung):
Wenn an der Stelle x = z eine doppelte Nullstelle ist, lässt sich Deine Funktion f(x) = ax^3+bx^2+cx+d in
f(x) = a(x-z)*(x-z)*(Rest) oder a(x-z)²*(Rest) umformen (z. B. durch Polynomdivision).
Bei einem Polynom drittenGrades kann der Rest übrigens nur noch die Form (x+u) haben.
Was ist die Funktion h(x) = (x-z)² eigentlich?
Richtig, es ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt bei (z|0) liegt.
Sie hat dort selbst eine doppelte Nullstelle und (jetzt mal wichtiger) sie hat dort keinen Vorzeichenwechsel; es findet dort also kein Durchgang durch die x-Achse statt.
Das kann nur bedeuten, dass es dort links und rechts (zunächst) in gleicher Richtung (vorgegeben durch den Rest der Funktion) wieder von der x-Achse weggeht.
Mit Ableitung und Ableitung Null setzen:
[a(x-z)² * Rest]’ = 0
ableiten mit Produktregel:
a[(x-z)²]’ * Rest + a(x-z)² * Rest’ = 0
Kettenregel anwenden:
2a(x-z)*1 * Rest + a(x-z)² * Rest’ = 0
2a(x-z) * Rest + a(x-z)² * Rest’ = 0
Tja, und das wird bei x=z halt Null (notwendige Bedingung für Extremum ist erfüllt)
Jetzt solltest Du den Salat nochmal ableitn und zeigen, dass das nicht Null werden kann (hinreichende Bedingung.
Es ist übrigens Rest’ = u
Schreib mal, ob es geholfen, bzw. auf Ideen gebracht hat!
Liebe Grüße
Jochen
Die eine Passage muss etwas ausführlicher werden:
Was ist die Funktion h(x) = (x-z)² eigentlich?
Richtig, es ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt bei (z|0) liegt.
Sie hat dort selbst eine doppelte Nullstelle und (jetzt mal wichtiger) sie hat dort keinen Vorzeichenwechsel; es findet dort also kein Durchgang durch die x-Achse statt.
Das kann nur bedeuten, dass es dort links und rechts (zunächst) in gleicher Richtung von der x-Achse weggeht.
Das gleiche macht auch die gesamte Funktion f(x) = a*(x-z)² * Rest:
Sie geht in gleicher Richtung (vorgegeben durch den Rest der Funktion) wieder von der x-Achse weg.
Voraussetzung natürlich, dass der Rest = (x+u) hier nicht auch eine Nullstelle hat. Aber das hatten wir ja am Anfang dadurch geklärt, dass es hier eben nur eine zweifache und nicht eine dreifache Nullstelle gibt.
Hallo Andrilla,
wenn p Doppelnullstell ist. lautet Deine Funktion (in Deinem Beispiel 3. Grades):
f(x) = k(x-p)^2 * (x-q)
Daraus folgt: f´(x) = k * (2(x-p)(x-q) + (x-p)^2) wegen der Produktregel.
Jetzt (x-p) ausklammern , f´ gleich null setzen… na usw
Ab jetzt alles klar ?
Gruß von Max
Hallo Jochen, erst einmal ein Danke für dein Interesse.
Ein paar Fragen bleiben mir jedoch noch.
Bei der Polynomdivision der Polynomform benötige ich ja einen Linearfaktor. Dieser wäre dann ja (x-z) richtig?
Das sähe dann bei mir so aus:
ax^3+bx^2+cx+d : (x-z) = ax^2
ax^3+zax^2 ?
Ich verstehe nicht ganz wie ich ohne Zahlen die Division durchführen kann?
Wie kommst du zu der Funktion h(x) ? Betrachtet man da nur den Teil (x-z)^2 ?
Und der Ausdruck (Rest) ist mir ganz neu, kann ich den durch (x+u) ersetzen oder ist es formgerecht den anzuwenden?
Ich muss mich nochmal darein lesen wie ich meine Fkt f(x) = a(x-z)^2*(rest) jetzt ableiten soll…
Ansonsten schon mal Danke sehr !
Bei der Polynomdivision der Polynomform benötige ich ja einen
Linearfaktor.
Ja.
Dieser wäre dann ja (x-z) richtig?
Ja
Das sähe dann bei mir so aus:
ax^3+bx^2+cx+d : (x-z)
Ja.
Aber hier bei dieser allgemeinen Vorgabe ohne konkrete Zahlen kann man die Polynomdivision nicht wirklich durchführen. Wir können nur überlegen, was passiert.
Wie kommst du zu der Funktion h(x) ?
Ich habe die (x-z)^2 einfach nur mal so benannt, um was Kürzeres, Griffiges zu haben. Das hätte ich aber auch lassen können.
Und der Ausdruck (Rest) ist mir ganz neu,
Den hatte ich einfach mal so genannt, als ich noch nicht fertig überlegt hatte, dass bei einem Polynom 3. Grades ja nur ein Linearfaktor übrig bleiben kann. Ich hatte erst noch etwas allgemeiner gedacht (Polynom mit höherer Ordnung als 3)
Und Hmmm - ein Rest einer (Polynom-) Division ist es ja tatsächlich. 
kann ich den durch(x+u) ersetzen
Ja
oder ist es formgerecht den anzuwenden?
Egal.
{Bin kein Mathetiker, sodern Ingenieur. - Die wollen nur, dass es stimmt und sicher funktioniert, es muss nicht perfekt sein.}
Ich muss mich nochmal darein lesen wie ich meine Fkt
f(x) = a(x-z)^2*(rest) jetzt ableiten soll. …
mit Produktregel und Kettenregel
Ansonsten schon mal Danke sehr !
Danke für den von Dir gelieferten Denksport!
Ich bin wohl eher ein Mathematiker, da muss alles ganz klar und genau beschrieben werden. 
Ich hab leider nicht viel Zeit, einfach zu viele Sachen zu tun, aber ich werde mich wohl morgen nochmal melden.
Schönen Abend noch
Hallo Andrilla,
wenn Du eine doppelte Null-Stelle hast, dann ist die ‚Steigung‘ an dieser Stelle offensichtlich Null, also liegt ein Extremum vor, nämlich ein Maximum, ein Minimum oder ein Wendepunkt.
Noch was? Vermutlich sollst Du nur formal ausdrücken, was Du klar vor Augen siehst. Das will ich aber nicht für Dich machen.
Michael.
Ich muss es schon richtig beweisen, also mit Formeln.
Der Grundgedanke mit der Tangente und der Steigung = 0 ist mir völlig klar, nur dies ohne Zahlen sondern mit Variablen zu beweisen, wie mein Ansatz war, ist nicht sehr leicht.
Da kann ich dir leider auch nicht weiterhelfen.
Frank
Ich will es, wie gesagt, nicht für Dich machen!
Ich muss es schon richtig beweisen, also mit Formeln.
Der Grundgedanke mit der Tangente und der Steigung = 0 ist mir
völlig klar, nur dies ohne Zahlen sondern mit Variablen zu
beweisen, wie mein Ansatz war, ist nicht sehr leicht.
Hallo,
Ich muss beweisen, dass eine doppelte Nullstelle einer
ganzrationalen Funktion immer eine Extremstelle ist.
Mein Ansatz ist also die Funktioen :
f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
Liebe Grüße und ein Danke,
Andrilla.
Auch Hallo Andrilla,
Dein Ansaztz ist möglicherweise zu begrenzt: Du beschränkst Dich auf ein Polynom 3. Grades. Allgemeiner wäre der Ansatz, wenn Du ein Polynom beliebigen Grades wählen würdest. Wie immer auch:
Du kannst ein Polynom vom Grade n (n > 2) zerlegen in ein Produkt von einem Polynom 2. Grades und ein Polynom vom Grade n-2. (Stichwort Polynomdivision). Es ist nicht notwendig, dass Du genau weißt, wie das geht. Dabei werden die Nullstellen des Ursprungspolynom verteilt auf die beiden Teilpolynome.
Das Polynom 2. Grades wird so gewählt, dass es die doppelte Nullstelle enthält. Der Wert des Restpolynoms vom Grade n-2 wird an der Stelle der doppelten Nullstelle ermittelt.
Da Du weißt, dass an dieser Stelle das Ursprungspolynom genau zwei Nullstellen hat und diese beiden Nullstellen jetzt in dem Polynom 2. Grades gelandet sind, hat das Polynom vom Grade n-2 an dieser Stelle keine Nullstelle, der Polynomwert ist also ungleich Null und kann in der Umgebung der doppelten Nullstelle als näherungsweise konstant angesehen werden. Es ist nicht notwendig, dass Du den genauen Wert kennst.
Es reicht jetzt, wenn Du das Polynom 2. Grades betrachtest. Du kannst jetzt dessen Ableitung bilden und erhältst ein Polynom 1. Grades (eine Grade) dessen einzige Nullstelle genau dort liegt, wo bei dem Polynom 2. Grades die doppelte Nullstelle liegt. Dies ist aber der Beweis, dass das Polynom 2. Grades an dieser Stelle einen Extremwert hat.
Das Gesamtpolynom an dieser Stelle ist das Produkt aus dem Polynom 2. Grades, das hier eine Extremstelle hat und einem nahezu konstanten Wert ungleich Null vom Poynom n-2. D. h. auch das Gesamtpolynom muss hier eine Extremstelle haben.
Viele Grüße
AGb
Liebe®Andrilla! Es tut mir aufrichtig Leid, doch für diese Aufgabe bin ich die falsche Adresse! Zur Motivation ein Wort eines großen Mathematikers, des Andrew Wiley, dem es nach 7-jähriger Arbeit gelang, den Satz des berühmten Mathematikers Fermat aus dem 17. Jahrhundert zu beweisen:Mathematik ist wie der Gang durch ein dunkles Haus. Man betritt das erste Zimmer,und es ist dunkel, vollkommen dunkel. Erst stolpert man umher und stößt überall an, dann lernt man nach und nach,wo sich die Möbel befinden. Und schließlich, so etwa nach sechs Monaten, entdeckt man den Lichtschalter. Plötzlich ist alles hell und man kann genau sehen, wo man ist. Dann geht man ins nächste Zimmer… Liebe Grüße Artur
Bin gerade erst aus dem Urlaub gekommen; deshalb etwas knapp:
Dopp.Nullstelle von f bei x=x0, dann kann man schreiben:
f(x)=k*x*(x-x0)^2 + d=… (!)
also f’(x)=…
Setzt man f’(x)=0, so erhält man als Stellen mit waagr. Tangente x1 = x0 und x2 = x0/3.
Die Prüfung mit f’’ ergibt für beide Stellen einen Wert ungleich Null, wenn x0 ungleich 0 ist; also dann relat.Extremum.
Im fall x0=0 ist ja f(x)=k*x*(x-x0)^2 + d= k*x^3+d , was kein doppelte, sondern eine einfache oder dreifache NS hat.
Hallo Andrilla, leider bin ich hier überfragt. Kan Dir leider nicht helfen.
Sorry!
Gruß
Thomas
Hallo Andrilla,
Jede ganze rationale Funktion lässt sich als Produkt von Linearfaktoren schreiben.
Deine ganze rationaler Funktion dritten Grades mit einer doppelten Nullstelle in x1 und einer weiteren Nullstelle bei x2 ungleich x1 schreibst Du am besten so:
f(x) = (x-x1)^2 mal (x-x2) mit x1 ungleich x2.
Du bildest mit Hilfe der Produktregel die erste und die zweite Ableitung. Wenn Du dabei Probleme hast, melde Dich bitte ungeniert, ich schreibe Dir hier die Ergebnisse auf:
Erste Ableitung f’(x) = 2 mal (x-x1) mal (x-x2) + (x-x1)^2
und zweite Ableitung f’’(x) = 2 mal (x-x2) + 4 mal (x-x1)
Jetzt musst Du nur noch zeigen, dass f’(x1) gleich 0 ist, einfach x1 für x einsetzen
Und dass f’’(x) für diesen Wert x1 ungleich 0 ist, was dadurch gesichert ist, dass x1 ungleich x2.
Ich hoffe, ich habe mich bei den Indizes und Mal-zeichen nicht vertippt!
Gruß
Jobie
Also
Das war meine Variante… etwas vereinfacht und nicht ganz richtig, abr wengstens etwas:
doppelte Nullstelle = Extremstelle
f(x) = ax^2+bx+c
0 = x^2 + bx + c
x1,2 = -b/2 ± (Wurzel aus 0 )
Hallo Andrilla,
nun, bei einem mathematischen Beweis gilt prinzipiell immer folgendes:
Manchmal ist ein wenig Knobelei dabei 
normalerweise siehst Du schnell, wohin der Hase läuft
Viel Erfolg,
Michael
Hallo,
als Ansatz betrachtet man die Funktion
f(x)= (x-a)^2 * g(x) wobei g(x) eine ganzrationale Funktion beliebigen Gerades ist mit g(a) ungleich 0 (Sonst hätte man nicht nur eine doppelte Nullstelle, und z.B. für dreifache Nullstellen git die Aussage nicht), und a die doppelte Nullstelle.
Nun muss man zeigen, dass für f die notwendige und die hinreichende Bedingung f’(x) = 0 und f’’(x) ungleich 0 beide erfüllt sind.
Also die Funktion nach den bekannten Regeln 2 mal ableiten und prüfen, ob die Bedingungen für a erfüllt sind.
Hoffe das ist hilfreich.
Viele Grüße
Andrea