Cauchyfolgen

Wissenschaft Physik
#1

Hallo!
Ich sitze jetzt shon eine Ewigkeit über der Definition der Cauchyfolgen. Die kann ich zwar jetzt auswendig, aber mir fällt kein Beispiel dafür ein, ich weiss nicht was es mir bringt und ich habe keine Ahnung wo man die in der Mathematik braucht. Hat da jemand eine Idee?
Christian

#2

Hallo,
einfachstes Bsp. die Def. der reellen Zahlen als Vervollständigung der rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen „hinken“ daran, daß es dort Cauchy-Folgen gibt deren Grenzwert keine rationale Zahl darstellt z.B. x0=1 und xn+1=xn/2+1/xn hat den Grenzwert Wurzel aus 2, der keine rationale Zahl ist.

Gruss
Enno

#3

Hallo,

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
Schnellbeweis:
Sei {a} eine konvergente Folge mit Grenzwert a, also |am-a|N.

Dann gilt für alle m,n > N:
|am-an| {a} ist konvergente Folge

Dann ist die dazugehörige Zahlenmenge abgeschlossen, wie z.B. die Menge der reellen Zahlen.

Gruß
Oliver

#4

Hi Christian,
Cauchy Folgen sind wirklich unheimlich wichtig in der ganzen Analysis, also merk dir die Definition, damit sie ewig sitzt! Das gute an Cauchy Folgen ist(beliebte Mathe Vordiplom Frage), dass du für die Konvergenz einer Folge nicht den Grenzwert zu kennen brauchst. Neben der Äquivalenz zur herkömmlichen Konvergenz sind die auch als Definition für vollständige Räume sehr wichtig. Ich weiß nicht, wie weit du im Studium bist, aber Cauchy Folgen verfolgen einen durch die ganze Analysis, was auch nicht schlecht ist, da sie relativ leicht zu verstehen sind. Du wirst die unter anderem bei Beweisen über Aussagen über Funktionenfolgen und und Konvergenzen von Reihen bzw. Potenzreihen benötigen. Wie dir auffallen wird, oder aufgefallen ist, ist die Reihenkonvergenz dadurch definiert, dass man Cauchy Folgen auf die Partialsummen anwendet. Auch z.B in ANA III, wenn es um Differentialgleichungen geht, wirst du (Bsp. lokaler Picard-Lindelöf) die Vollständigkeit gewisser Räume brauchen, und dafür musst du Zeigen, dass jede Cauchy Folge einen Grenzwert in der Menge hat.

Also merk dir: Cauchy Folgen sind sehr wichtig, Definition der Kgz über Cauchy Folgen viel wichtiger und interessanter, als die Über Grenzwert!