hallo zusammen,
ich habe soeben einen beweis gefunden, dass cos(1) irrational ist. kann man daraus direkt herleiten das sin(1) ebenfalls irrational ist? ich habe als erstes an die additionsformel oder an pythagoras gedacht, aber ich bin damit nicht weitergekommen…
hat jemand einen ansatz?
gruss niemand
hi,
ich habe soeben einen beweis gefunden, dass cos(1) irrational
ist. kann man daraus direkt herleiten das sin(1) ebenfalls
irrational ist?
glaub ich nicht; aber was heißt schon „direkt“?
allgemein gilt das jedenfalls nicht. es gibt winkel, für die der cos irrational ist und der sinus rational. 30° z.b. da ist der sinus rational (nämlich 1/2), aber der cosinus mit Wurzel(3)/2 irrational.
also folgt aus der irrationalität des cosinus (für einen winkel) nicht jene des sinus.
hth
m.
danke für den hinweis, das ist mir jetzt klar,
ich fragte mich nun, ob zb eine art „linearen“ zusammenhang gibt zwischen cos und sin?
zb
1 = sin(x)+cos(x) oder
2/cos(x) = sin(x) (das ist ganz klar FALSCH, nur als beispiele zu verstehen)
dann könnte ich argumentieren, dass wen eine der beiden funktionen für ein bestimmtes x irrational ist, dass dan die andere auch irrational sein muss - ist verständlich was ich meine?
gruss niemand
HI;
ich fragte mich nun, ob zb eine art „linearen“ zusammenhang
gibt zwischen cos und sin?
nein.
der zusammenhang ist komplizierter. er ist sozusagen pythagoräisch.
zb
1 = sin(x)+cos(x) oder
nämlich
1 = sin²(x) + cos²(x)
bzw.
cos x=\pm \sqrt{1-sin^2(x)}
als längen sind sin und cos 2 katheten eines rechtwinkligen dreiecks mit hypotenusenlänge 1.
2/cos(x) = sin(x) (das ist ganz klar FALSCH, nur als beispiele
zu verstehen)
dann könnte ich argumentieren, dass wen eine der beiden
funktionen für ein bestimmtes x irrational ist, dass dan die
andere auch irrational sein muss - ist verständlich was ich
meine?
verständlich schon, aber du wirst sehr viele winkel (mit durchaus „krummen“ maßangaben) finden können, für die die eine winkelfunktion rational und die andere irrational ist.
das ist (schätze ich) in etwa so kompliziert wie die frage nach ganzzahligen pythagoräischen dreiecken. es gibt unendlich viele, aber noch viel mehr andere. wurzeln liefern „generell“ irrationale lösungen, aber keineswegs immer.
m.