Wenn ich dann die Matrix zu L_T auf (x,y,z,1) anwenden möchte, dann muss ich ebenso verfahren und auf (x+c) anwenden, wobei x dann hier in der vierten Komponente eine 1 hat. Was ist dann mit der vierten Komponente von c. Die muss ja dann 0 sein, damit das funktioniert.
Die Dopplung des x ist hier schlecht. Ich meine natülich immer den Vektor (x,y,z) oder (x,y,z,1)
Ich habe eine längere Antwort (und ohne Matrizen, weil ich die nicht leiden kann), aber zuerst noch: Ist das lineare Algebra oder Algebra? Habt ihr schon affine Räume gemacht (sieht wie die Vorbereitung dazu aus)? Weißt Du, was ein semidirektes Produkt ist?
Oder vielleicht nochmal als direkter Tipp, falls Du weiter mit den Matrizen machen möchtest: Schau Dir die letzte Spalte von L_T an. Für T(x) = Ax + b, was passiert wenn die letzte Spalte f(b) ist, und Du einen Vektor f(x) (x aus R^3) daranmultiplizierst?
Das ist WPF Geometrie und die affinen Räume kommen erst später.
Nein, semidirektes Produkt ist noch nicht vorgekommen.
Es ist fürs Lehramt und es ist jede Woche eine ÜA dabei, die uns verzweifeln lässt.
Aber ich versuche es und hier finde ich immer richtig gute Hilfe, wofür ich sehr dankbar bin.
f(b) = (b_x, b_y, b_z, 1)
wenn ich den in die letzte Spalte der L_T eibaue und alles mit (x,y,z,1) multipliziere, dann ist es ein anderer Vektor als wenn ich Matrix T mit (x+c_x, y+c_y,z+c_z) multipliziere und am Ende f anwende
Wenn ich jedoch T belasse bei T=A(x,y,z) +b, dann kommt das selbe raus. T muss ja auch nicht linear sein, sondern L_T.
Oh, da würde ich mich jetzt schlecht fühlen, wenn Du so ganz nebenbei Gruppenerweiterungen „entdeckst“. Und mein Tipp von eben ist auch nicht das, was man durch „herumprobieren“ herausbekommt.
Aber vielleicht nur mal so als Beobachtung: T(x) = A(x)+b = Ax + AA^-1b = A(x+A^-1b) … wir haben also T von x umgeschrieben zu A von einem verschobenen x, was irgendwie von b abhängt, oder A^-1b könnte man auch als c bezeichnen. Das ist trivialerweise linear und bijektiv. Die Gruppe O(V) und die Gruppe O(V+c) sind isomorph.
Nun zu eben: Für T(x) = Ix + b (I die Eins von O(n)) sollte nach der Einbettung stehen f(T(x)) = f(Ix+b) … und wegen der geforderten Gleichheit f(Ix+b) = L_T(f(x)).
In Matrixschreibweise ahnst Du es vielleicht schon:
[ 1 0 0 b_x ]
L = [ 0 1 0 b_y ]
[ 0 0 1 b_z ]
[ 0 0 0 1 ]
ist die Translationskomponente von T. L(f(0)) = (b_x, b_y, b_z, 1)
Das „andere Extrem“ sind reine orthogonale Abbildungen ohne vorheriges Verschieben. T(x) = Ax + 0. Nach Einbettung steht f(T(x)) = f(Ax), und es soll ja f(Ax) = L(f(x)) gelten. Wie eben (bzw. oben von Der_Namenlose konstruiert):
[ 0 ]
L = [ A 0 ]
[ 0 ]
[ 0 0 0 1 ]
stimmt’s? Damit hast Du Dein L gefunden. Denn jedes F aus E(V) kannst Du darstellen als Orthogonalabbildung gefolgt von einer Translation. Ist ja nur eine Summe: F(x) = A(x) + (Ix + b) … dann rate mal wie L_F aussieht.
Ich glaube, ich gebe bei der Aufgabe auf. Meine Matrix L sieht aus wie deine letzte ausser dass bei mir der Spaltenvektor so aussieht wie der vierte Spaltenvektor deiner oberen Matrix. Damit funktioniert es, die Gleichung zu zeigen. aber offenbar ist es falsch.
Genau!!!
[ b_x ]
L_T = [ A b_y ]
[ b_z ]
[ 0 0 0 1 ]
Das sieht man auch sehr schnell, wenn man es direkt macht. Allerdings gebe ich das hier auch auf, weil ich die handgeschrieben Notation hier nicht übertragen kann.
Der Trick ist. F (oder T) in den orthogonalen Teil und den Translationsteil zu zerlegen. Und L_T = L_o x L_t (x semidirekt) zu schreiben. In Worten geht das so: L(f(Ax)) = f(Ax) (A aus O(3)), erweitern, so daß L_o(f(x)) = f(Ax) und L_o((0,0,0,u)) = u … also (v,u) |-> (Av,u) … (das wäre in Matrixschreibweise die untere). Dann ist L_o(lambda v + w) = L_o(lambda (v,u) + (w,u’)) = (A(lambda v),u) + (Aw,u’) = lambda (Av,u) + (Aw,u’) = lambda L_o(v) + L_o(w) … also linear.
Ist L_o bijektiv? Na klar, denn ((v,u) |-> (Av,u))^-1 = (A^-1v,u).
Die Linearität hatte ich auch so gezeigt. Mit der Inversen Matrix komme ich nicht klar, da wir nicht die schöne Blockform haben.
Deinen Abschluss
Ist L_o bijektiv? Na klar, denn ((v,u) |-> (Av,u))^-1 = (A^-1v,u).
verstehe ich nicht, d. h. ich kann das nicht deuten.
Ja stimmt. Ich habe eine katastrophale Notation, ich habe den Vektor v aus R^3 um eine Komponente u erweitert, und damit einen Vektor aus R^4, geschrieben (v,u). Dieser wird abgebildet auf (Av,u) (A aus O(3), demnach Av aus R^3), die letzte Komponente bleibt einfach erhalten.
Mit ^-1 meine ich die inverse Abbildung.
Und aufpassen, das war nur die orthogonale Komponente. Insgesamt steht da:
( (v,u) |-> (Av+b,u) )^-1 = (v,u) |-> (A^-1(v-b),u)
Und A^-1 existert (wegen aus O(3)), also A^-1v auch, und natürlich A^-1b auch.
Was bedeuten die Pfeile.
Und: die Notation ist nicht katastrophal.
|-> heißt wird abgebildet auf. Ich sehe gerade Du hast immer = benutzt. Hätte ich auch tun sollen.
Dennoch verstehe ich es nicht. wie kommst du auf (A^-1(v-b),u)?
In R^3 ist F aus E(3) mit F(v) = Av+b invertiert gerade A^-1(v-b). Das war mein erster Tipp von heute morgen:
Schreibe Av+b als Av + (AA^-1)b = A(v+A^-1b), als Gleichung:
w = A(v+A^-1b)
Umstellen nach v: multipliziere von links mit A^-1
A^-1w = v + A^-1b
Dann minus A^-1b
A^-1w - A^-1b = v
ausklammern, fertig. Ich stelle vom Bild auf das Urbild um.
Für die Verwirrung bitte ich um Entschuldigung, selbstredend kann man auch direkt auf:
F(v) = w = Av+b
die Umstellung anwenden. Ohne „Trick“. Wir sind ja in E(3).
A^-1w = A^1Av + A^-1b
A^-1w - A^-1b = v = F^-1(w)Hast du damit nicht gezeigt, dass T invertierbar ist? Ich soll es doch für LT zeigen?
Richtig. Ich habe nur die R^3 Komponente hier gezeigt. Oben habe ich es für L_T geschrieben:
L_T((v,u))^-1 = ( (v,u) |-> (Av+b,u) )^-1 = ( (v,u) -> (A^-1(v-b),u) )
Die vierte Komponente wird ja durch (mein) L_T auf sich selbst abgebildet, die Umkehrung ist also trivial.
Denkbar ist natürlich auch ein L_T a la:
(v,u) |-> (Av+b, 2u)
oder ähnliche Scherze. Dann sieht die vierte Komponente der Umkehrung entsprechend aus.
Für T verstehe ich es.
Bei
L_T((v,u))^-1 = ( (v,u) |-> (Av+b,u) )^-1 = ( (v,u) -> (A^-1(v-b),u) )
ist mir Av+b,u unklar.
A ist ja 3x3.
die Matrix L_T ist ja aber jene, mit jeweils 0 in den vierten Komponenten der Spalten 1 bis 3 und in der viertel Spalte b_x, b_y, b_z, 1. Für das Ergebnis aus L(v,u) ist dann Av+b,u die Schreibweise?