Darstellung von Kongruenzabbildungen durch lineare Abbildungen

Wissenschaft Mathematik
#41

A in O(3), v in R^3, b in R^3. Das ergibt ein w aus R^3, daran noch die vierte Komponente u (aus R^1) ketten. Ich schreib’s nochmal, diesmal mit | statt Komma für die Verkettung, und -> für „abgegbildet auf“:

L_T(v|u)^-1 = ( v|u -> Av+b|u )^-1 = ( v|u -> A^-1(v-b)|u )

Einfach komponentenweise, links vom | im R^3, rechts davon im R^1.

Mein L_T ist einfach nur eine Abbildung, die so definiert ist wie angegeben. Ich habe zwar auch die Matrixform von L_T geschrieben, dort kann man aber weder komponentenweise arbeiten, noch semidirekte Produkte griffig darstellen. Die Matrix wolltest Du, weil Ihr (vermutlich) schon gezeigt habt, daß Matrizen Linearformen sind. Der Linearitätsbeweis wird also ein „siehe Satz/Lemma x.y“.

Dafür ist die Bijektivität jetzt nicht mehr ganz so einfach zu zeigen. Invertierbarkeit garantiert Bijektivität (Beweis?).

In der allgemeinen Form wie oben angegeben hilft nur die Laplace-Entwicklung, um die Invertierbarkeit zu zeigen: Entlang der letzten Spalte ergeben sich die Kofaktoren

det(L_T) = -b_x * 0 + b_y * 0 - b_z * 0 + 1 * det(A)

und damit +1 oder -1.

Die Hauptschwierigkeit, die ich mit der Matrixdarstellung sehe, ist, daß man sie nicht so einfach erraten/konstruieren kann, wie L_T aus L_T(f). Aber das mußt Du einschätzen, wie viel Euch einfach so (ohne Beweis/Konstruktion) geglaubt wird.

#42

Jetzt hat es klick gemacht. Danke für diesen großen Aufwand, das ist unglaublich.
Den Teil b werde ich lassen und auf die Musterlösung warten.
Herzlich
Catrin

#43

Nein nicht aufgeben, Teil b) ist doch ganz einfach.

Zu zeigen F(S + T) = F(S) + F(T)

Links das plus in E(3), rechts das plus in Aut(R^4). Für mich ist das nur hinschreiben: L_(S+T) = ??? = L_S + L_T … und L_X haben wir sowohl in Matrixform als auch in komponentenweiser Abbildungsform.

Ich will Dir die Lösung ja nicht direkt vorgeben, aber überleg doch wie jedes T aus E(3) aussieht, und ob man das nicht einfach mal hinschreibt!

#44

Sorry falsch herum, mit einfachem Hinschreiben geht es, wenn man

F(S) + F(T) = L_S + L_T = ??? = L_(S+T)

in diese Richtung geht.

#45

Die Gruppenausführung ist jeweils die Hintereinanderausführung, richtig. S und T sind zwei Kongruenzabbildungen. Das ergibt für mich dann keinen wirklichen Sinn, weil ja rechts zwei Vektoren hintereinanderausgeführt werden müssten? Was nicht definiert ist.