3x3-LGS enthält Parameter: Wie lösen?

Wissenschaft Mathematik
#1

Folgende Aufgabe: "Das Gleichungssystem ist für die Variablen x, y und z zu lösen:

4x - 2ay + z = 5a
-x + 3ay + 2z = -a
3x + 2y + 6z = 2

a.) Lösen Sie dieses Gleichungssystem „klassisch“ - also bspw. mit dem Einsetzungs- oder Additionsverfahren.

b.) Lösen Sie dieses Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus.

"Die „klassischen“ Verfahren, sowie der Gauß-Algorithmus sind mir bekannt und ich kann diese anwenden. Allerdings habe ich beide Methoden versucht anzuwenden und bin an dem Parameter a gescheitert. Ich erhalte Konstrukte, die mir derart komplex erscheinen, dass ich nicht mehr weiß, wie ich mit diesen weiter rechnen soll oder wie ich diese vereinfachen kann.

Ich weiß, dass viele, weitaus kompetentere Personen, mir sicherlich weiterhelfen können und bedanke mich hierfür vielmals im voraus.

Schönen Gruß!


–––––––––
MOD: Ein paar Leerzeilen für bessere Lesbarkeit eingefügt.

#2

Hallo,

4x - 2ay + z = 5a
-x + 3ay + 2z = -a
3x + 2y + 6z = 2

ich empfehle Dir, zuerst die zweite und die dritte Spalte auf der linken Seite miteinander zu vertauschen, also nicht das ursprüngliche LGS zu lösen, sondern dieses:

4u + v - 2aw = 5a
-u + 2v + 3aw = -a
3u + 6v + 2w = 2

Wie Du merken wirst ist die Gaußelimination für dieses System erheblich leichter durchzuführen, weil dabei nur vergleichsweise einfache Koeffiziententerme entstehen. Mit der Lösung (u, v, w) hast Du dann natürlich sofort auch die Lösung (x, y, z).

Gruß
Martin

Zur Kontrolle: Die Lösung ist (u, v, w) = (2a, –a, 1) bzw. (x, y, z) = (2a, 1, –a).

#3

Danke für die Antwort, allerdings komme ich noch nicht viel weiter. Ich habe das LGS umgestellt und die Gauß-Analyse angewandt, sodass am Ende der „Nullsetzung“ bei mir folgendes heraus kommt:

0 I 0 I -60a - 168 I 463a - 168

Wie Du siehst, also ein (wahrscheinlich) falsches Resultat meiner Gauß-Analyse. Allerdings muss ich ja den Parameter a mit berücksichtigen und dann kann ich ja eben nicht -60a - 168 berechnen, sondern so stehen lassen. (Oder?) So erhalte ich dann auch keine eindeutige Lösung für w = _ und so kann ich auch nicht die nächsten Zeilen bearbeiten.

Vielleicht fällt dir ja auf, was meine Fehler bei der Bearbeitung sind. =)

#4

0 I 0 I -60a - 168 I 463a - 168

Das ist zwar falsch, aber immerhin sind die Terme lineare Funktionen von a wie es sein muss. Wahrscheinlich gehst Du korrekt vor und hast Dich nur in irgendeinem Eliminationsschritt mit den Zahlen verrechnet.

Vielleicht fällt dir ja auf, was meine Fehler bei der Bearbeitung sind. =)

Scherzkeks… was soll mir an Deiner Rechnung auffallen, wenn ich die überhaupt nicht kenne?

Meine Gaußelimination bis zur Dreiecksgestalt der Koffizientenmatrix brummt folgendermaßen:

\left.
\begin{array}{ccc}
4 & 1 & -2a \
-1 & 2 & 3a \
3 & 6 & 2
\end{array}
\right|
\begin{array}{c}
5a \
-a \
2
\end{array}

\left.
\begin{array}{ccc}
4 & 1 & -2a \
0 & 27 & 30a \
0 & -21 & -8-6a
\end{array}
\right|
\begin{array}{c}
5a \
3a \
-8+15a
\end{array}

\left.
\begin{array}{ccc}
4 & 1 & -2a \
0 & 9 & 10a \
0 & -21 & -8-6a
\end{array}
\right|
\begin{array}{c}
5a \
a \
-8+15a
\end{array}

\left.
\begin{array}{ccc}
4 & 1 & -2a \
0 & 9 & 10a \
0 & 0 & -24+52a
\end{array}
\right|
\begin{array}{c}
5a \
a \
-24+52a
\end{array}

\left.
\begin{array}{ccc}
4 & 1 & -2a \
0 & 9 & 10a \
0 & 0 & 1
\end{array}
\right|
\begin{array}{c}
5a \
a \
1
\end{array}

Vergleich mal mit Deiner Rechnung.

Martin

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#5

4 I 1 I -2a I 5a (*3)
-1 I 2 I 3a I -a (*4)
3 I 6 I 2 I 2 (*-4)

4 I 1 I -2a I 5a
0 I 11 I 6a I 11a (*11)
0 I -21 I -6a-8 I 15a-8 (*21)

4 I 1 I -2a I 5a
0 I 11 I 6a I 11a
0 I 0 I -60a-168 I 463a-168

Hab’ die Darstellung jetzt mal laienhaft erstellt, hoffe allerdings Du kannst daraus etwas erkennen. So war mein Weg… wo genau ich jetzt die Fehler gemacht habe, weiß ich leider noch nicht. ^^

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#6

4 I 1 I -2a I 5a (*3)
-1 I 2 I 3a I -a (*4)
3 I 6 I 2 I 2 (*-4)

Ja, richtig. Das ergibt erstmal

12 I 3 I -6a I 15a
-12 I 24 I 36a I -12a
-12 I -24 I -8 I -8

Jetzt addierst Du die erste Zeile und die zweite Zeile und die Summe notierst Du als „neue“ zweite Zeile. Das Ergebnis ist:

0 I 27 I 30a I 3a

und genauso verfährst Du mit der dritten Zeile: Summe von erster und dritter Zeile ergibt die „neue“ dritte Zeile. Raus kommt:

0 I -21 I -8-6a I -8+15a

Einverstanden? Klar, wie’s läuft? Rest alleine powern?

Martin

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#7

"
4 I 1 I -2a I 5a (*3)
-1 I 2 I 3a I -a (*4)
3 I 6 I 2 I 2 (*-4)

Ja, richtig. Das ergibt erstmal

12 I 3 I -6a I 15a
-12 I 24 I 36a I -12a
-12 I -24 I -8 I -8
"

Die zweite Zeile ergibt mal 4 genommen leider nicht diese
-12 I 24 I 36a I -12a
sondern mal 12 genommen.

Nun habe ich dieses mal durchgerechnet mit mal 12, komme allerdings auf Ergebnisse wie diese:
z= -1,46 ; y= 1,73 ; x= 0,52a + 0,43

Da du ja die korrekten Ergebnisse schon dargelegt hast, habe ich wieder einige Fehler gemacht. Hier meine weitere Vorgehensweise ab:

12 I 3 I -6a I 15a
-12 I 24 I 36a I -12a
-12 I -24 I -8 I -8

12 I 3 I -6a I 15a (*7, um in der dritten Zeile die zweite Null zu erlangen)
0 I 27 I 30a I 3a
0 I -21 I -6a-8 I 15a-8

84 I 21 I -42a I 105a
0 I 27 I 30a I 3a
0 I 0 I -48a-8 I 90a-8

–> (-48a-8)*z=90a-8
z= 90a-8/-48a-8
z= -1,46

„z“ dann wiederum in die Zeile darüber eingeführt um y= 1,73 zu erhalten und diese beiden dann in die erste Zeile um x= 0,52a+0,43 zu erhalten.

So meine Vorgehensweise. Vielen Dank weiterhin für die Aufdeckung meiner Fehler!

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#8

Die zweite Zeile ergibt mal 4 genommen leider nicht diese
-12 I 24 I 36a I -12a
sondern mal 12 genommen.

Ja, die Multiplikation mit 12 stimmt.

12 I 3 I -6a I 15a (*7, um in der dritten Zeile die zweite Null zu erlangen)
0 I 27 I 30a I 3a
0 I -21 I -6a-8 I 15a-8

Chef, Du hast den Gaußalgorithmus noch nicht verstanden. Nach der erfolgreichen Durchführung des ersten Eliminationsschrittes (also dann, wenn unter der 12 nur Nullen stehen) hast Du mit der ersten Gleichung nichts mehr zu schaffen! Deine neue Aufgabe ist dann die Lösung des 2×2-LGS

27 I 30a I 3a
-21 I -6a-8 I 15a-8

Erste Gleichung durch 3 teilen. Geeignete Multiplikatoren überlegen (7 und 3). Gleichungen damit für den zweiten Eliminationsschritt vorbereiten und dann diesen durchführen.

Martin

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#9

Super! Fehler beseitigt, alles durchgerechnet, passt!
Nochmals vielen Dank für Deine Hilfe! Ohne hätte ich die Aufgabe nicht einmal annähernd lösen können. Viel gelernt! =)

Kurz noch etwas zur ursprünglichen Aufgabenstellung.
Diese Vorgehensweise war ja jetzt die der Aufgabe b.), richtig? Also das Lösen des Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus.
Wenn ich nun das Gleichungssystem nach der Aufgabe a.), also „klassisch“ lösen möchte, gibt es da besondere Hürden? Habe es ja bereits versucht und kam hier per Einsetzungsverfahren auch nicht viel weiter, da ich auch hier wieder mit dem Parameter a Probleme hatte. Beispielsweise habe ich hier heraus: z= a-10ay/9. Du siehst, wieder eine unwahrscheinliche Lösung. Vielleicht hast du hier noch den einen oder anderen Tipp für mich.

Doch auf jeden Fall noch einmal besten Dank!

#10

Allright :smile:

Kurz noch etwas zur ursprünglichen Aufgabenstellung.
Diese Vorgehensweise war ja jetzt die der Aufgabe b.), richtig?

Ja. Was Du gelernt hast, ist das wichtige gaußsche Eliminationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, auch einfach Gauß-Methode oder Gauß-Algorithmus genannt. Eliminiert werden dabei nacheinander die Unbekannten: Im ersten Eliminationsschritt wird u aus der zweiten und dritten Zeile rausgeworfen, und im zweiten wird v aus der dritten Zeile rausgeworfen. Allgemeiner muss man bei einem n×n-System genau n–1 Eliminationsschritte durchführen, bis das System auf Dreiecksgestalt ist (man kann dann sogar weiter machen und das System auf Diagonalgestalt bringen, dies ist allerdings weder notwendig noch üblich).

Wenn ich nun das Gleichungssystem nach der Aufgabe a.), also
„klassisch“ lösen möchte, gibt es da besondere Hürden?

Nein. Man muss blos alle Schritte richtig ausführen und den Parameter dabei immer korrekt verrechnen – ganz stur und schematisch. Kannst es ja nochmal probieren.

Vielleicht hast du hier noch den einen oder anderen Tipp für mich.

Ja: Wenn es da, wo diese Aufgabe herstammt, noch weitere, ähnliche Aufgaben gibt, dann gönn Dir noch ein paar davon. Solche Schemata wollen gut eingeübt sein.

Martin

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