Hallo,
ich habe hier zwei, wie ich finde, verschiedene Definitionen wann eine Fkt. streng monoton steigend sein soll.
Nach Def. 1 ist z.B. f(x)=x^3 nicht streng monoton, da f`(0)=0 … nach der 2. Definition wäre sie aber streng monoton steigend.
Was ist nun richtig?
Besten Dank
Hallo,
- f´(x)>0 für alle x
- f(x1)>f(x2) für alle x1>x2
Nr. 2 ist (im Prinzip) die richtige Definition. Eigentlich gehört noch dazu, dass x1 und x2 im Definitionsbereich von f liegen müssen.
Nr. 1 beschreibt (nicht strenge) Monotonie auf differenzierbaren rellen Funktionen, ist also „nur eingeschränkt verwendbar“.
Gruß,
KHK
Hallo.
ich habe hier zwei, wie ich finde, verschiedene Definitionen
wann eine Fkt. streng monoton steigend sein soll.
- f´(x)>0 für alle x
- f(x1)>f(x2) für alle x1>x2
Die 2. Definition ist die richtige. Die 1. ist nicht ganz korrekt. Schau mal bei Wikipedia, da ist es auch erklärt:
—Zitat:
Eine stetig differenzierbare Funktion auf einem Intervall I ist genau dann streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend), wenn die Ableitung
Die Ableitung darf also nirgendwo negativ sein. Außerdem dürfen die x für die die Ableitung 0 ist, nur eine diskrete Menge bilden. Da bei deinem Beispiel x^3 dies nur für x=0 der Fall ist, ist auch diese Bedingung gegeben.
Wenn deine 1. „Definition“ erfüllt ist, ist die Funktion in jedem Fall streng monoton steigend, aber umgekehrt gilt das eben nicht unbedingt.
Sebastian.
Hallo.
- f´(x)>0 für alle x
- f(x1)>f(x2) für alle x1>x2
Nr. 1 beschreibt (nicht strenge) Monotonie auf
differenzierbaren rellen Funktionen, ist also „nur
eingeschränkt verwendbar“.
Nein, die „nicht strenge“ Monotonie wäre durch f’(x)>=0 beschrieben.
Im Extremfall: Eine konstante Funktion (z.B. f(x)=10 --> f’(x)=0) ist sowohl monoton steigend als auch monoton fallend.
Sebastian.
Ich weis zwar nicht ob diese Antwort jetzt Hilft, aber da ich dieses Thema grade in der Schule hatte, kann ich mal was dazu schreiben.
Um die Extremwerte auszurechnen (die man für die monotonieinterwalle braucht), muss man zuerst die erste Ableitung bilden. Danach rechet man dafon die Nullstellen ausrechnen, dann hat man die x-Werte. Diese setzt man dan in die Ausgangsgleichung ein, somit hat man dann auch die y-Werte. Nun setzt man die x-Werte in die zweite Ableitung ein, wenn ein negativerwert heraus kommt ist es ein maximum oder umgekehrt. Als letztes sreibt man noch wie sich die Gleichung verhält:
Wenn sie von -unendlich
kleine Anmerkungen
Um die Extremwerte auszurechnen (die man für die
monotonieinterwalle braucht), muss man zuerst die erste
Ableitung bilden.
Nicht immer. Es gibt auch Funktionen, die Extrema haben, die man nicht durch Ableiten bestimmen kann.
Beispiele:
f:[0,1]\to\mathbb R,x\mapsto x (Extrema in 0 und 1)
f:x\mapsto\vert x\vert (Extremum in 0)
Danach rechet man dafon die Nullstellen
ausrechnen, dann hat man die x-Werte. Diese setzt man dan in
die Ausgangsgleichung ein, somit hat man dann auch die
y-Werte. Nun setzt man die x-Werte in die zweite Ableitung
ein, wenn ein negativerwert heraus kommt ist es ein maximum
oder umgekehrt.
Wenn die zweite Ableitung Null ist, müsste man weiter ableiten. Nicht jede Stelle, an der die erste Ableitung Null ist, ist eine Extremstelle.
Als letztes sreibt man noch wie sich die
Gleichung verhält:
Wenn sie von -unendlich0) sinnvoller.
mfg,
Ché Netzer