Denkanstoß aus der Stochastik

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Mathematiker,

ich habe mir folgendes überlegt (ist gar nicht so außergewöhnlich, habe ich nur noch von keinem so gehört):

Eine Fünfundzwanzigjähriger ist alleine in seinem Zimmer und würfelt mit einem Laplace-Würfel mit den möglichen Ergebnisen 1,2,3,4,5,6. Er möchte zweimal nacheinander die Sechs würfeln und rechnet dafür die Wahrscheinlichkeit aus: (1/6)*(1/6) = 1/36. Also würfelt er zum ersten Mal: tatsächlich eine Sechs. Er denkt sich, mit dem zweiten Wurf eine Sechs zu würfeln kann er nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/36. Bevor er zum zweiten Wurf ansetzt, kommt sein kleiner Bruder ins Zimmer und registriert gleich: eine Sechs würfelt sein älterer Bruder mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6. Und tatsächlich wieder eine Sechs.

Nun, wer hat denn jetzt Recht gehabt? Das Problem liegt offensichtlich beim „Betrachter“, je nachdem, wann man bei einer solchen Aufgabe einspringt.

Gibt es für dieses Phenomen/Problem einen Namen? Habe noch keinen gehört. Und ich denke genau das ist die Schwierigkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

mfg

Kommentare?

#2

hi,

Eine Fünfundzwanzigjähriger ist alleine in seinem Zimmer und
würfelt mit einem Laplace-Würfel mit den möglichen Ergebnisen
1,2,3,4,5,6. Er möchte zweimal nacheinander die Sechs würfeln
und rechnet dafür die Wahrscheinlichkeit aus: (1/6)*(1/6) =
1/36.

richtig

Also würfelt er zum ersten Mal: tatsächlich eine Sechs.
Er denkt sich, mit dem zweiten Wurf eine Sechs zu würfeln kann
er nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/36.

falsch.
bzw.: hier irrt er sich.
die wsk, 2 mal hintereinander eine 6 zu würfeln, ist 1/36.
die wsk, beim nächsten wurf eine 6 zu würfeln, ist 1/6.
(fairer würfel vorausgesetzt.)

denselben irrtum begehen roulettespieler, die glauben, weil 3 mal rouge gekommen sei, sei die wsk, dass nun noir kommt, größer. stimmt nicht.

Bevor er zum
zweiten Wurf ansetzt, kommt sein kleiner Bruder ins Zimmer und
registriert gleich: eine Sechs würfelt sein älterer Bruder mit
einer Wahrscheinlichkeit von 1/6. Und tatsächlich wieder eine
Sechs.

Nun, wer hat denn jetzt Recht gehabt?

der kleine bruder.

Das Problem liegt
offensichtlich beim „Betrachter“, je nachdem, wann man bei
einer solchen Aufgabe einspringt.

nein, das problem ist das verwechseln von unabhängigen ereignissen mit abhängigen oder auch das nicht-erkennen einer „bedingten wahrscheinlichkeit“. (das wären suchstichworte für dich.)

hth
m.

#3

Hallo Fragewurm,

Eine Fünfundzwanzigjähriger ist alleine in seinem Zimmer und
würfelt mit einem Laplace-Würfel mit den möglichen Ergebnisen
1,2,3,4,5,6. Er möchte zweimal nacheinander die Sechs würfeln
und rechnet dafür die Wahrscheinlichkeit aus: (1/6)*(1/6) =
1/36. Also würfelt er zum ersten Mal: tatsächlich eine Sechs.

Er denkt sich, mit dem zweiten Wurf eine Sechs zu würfeln kann
er nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/36.

Hier ist der Fehler.
Der Würfel bitet nur 6 Möglichkeiten, also ist die Wahrscheinlichkeit bei jedem Wurf 1/6.
Zudem, wenn der este Wurf 1,2,3,4 oder 5, ist die Wahrscheinlichkeit mit dem zweiten Wurf 2x6 zu Würfeln = 0.

MfG Peter(TOO)

#4

Hi,

es werden zwei verschiedene Ereignisse betrachtet: „mit einem Wurf eine 6“ und „mit 2 Würfen 2 6en“.
Wenn du dir die jeweiligen Ereignis mengen hinschreibst wird es deutlich:
eine 6: M1={1,2,3,4,5,6} davon ist nur 6 ein ‚günstiges‘ eriegnis, daher P=1/|M|=1/6; im anderen ist M2=M1xM1={(1,1), (1,2), (1,3),…,(6,6)} und ebenfalls nur ein ‚günstiges Ereignis‘ nämlich (6,6), daher P=1/|M2|=1/36.
Grüße,
JPL