Der Limes der Funktion ?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

folgende funktion ist gegeben f(x)=(4x^2-5)/(-2x+x^2-3) und ich soll den limes herausfinden.

Hier ist mein Lösungsversuch:siehe Foto: http://img5.fotos-hochladen.net/uploads/14ytergh1fj9… )

Stimmt das so?

Wenn ja was sagt mir das jetzt wenn ich 4 und -4 herausbekomme?

In der Schule hatten wir eine ähnliche Aufgabe gerechnet siehe Foto: http://img5.fotos-hochladen.net/uploads/11r69nkg71wm…

da haben wir aber 0 und 0 heraus bekommen die Schlussfolgerung lautete dann

–>waagrechte Asymptote bei y=0

Vielen Dank im Voraus.

Beste Grüße Knale

#2

Hi,

woher erhältst Du bei -oo das negative Vorzeichen?

Ansonsten kannst Du auch immer gleich den am schnellsten wachsenden Term kürzen.

Gruß, Lutz

#3

lim[x -> oo](4x^2 - 5 / (x^2 - 2x - 3)) = oo / oo

In Fällen, in denen ein Bruch bei einem Limes 0 / 0 oder oo / oo ergibt, kann man die Regel von l’Hôpital anwenden. Man leitet beide Seiten (über und unter dem Bruch ab (oder integriert sie bei 0 / 0)). Das kann man auch so machen - Beweise will da hoffentlich keiner sehen, die Regel findet man auch so im Internet und mir wurde sie in der Uni gelehrt.

lim[x -> oo](4x^2 - 5 / (x^2 - 2x - 3)) = lim[x -> oo](8x / (2x - 2)) = lim[x -> oo](8 / 2) = 4

Es ergibt also genau 4 bei Limes gegen (plus) unendlich.

#4

Man

kann sich auch die Hose mit der Kneifzange anziehen.

Hi,

x^2 kürzen und Grenzwertsätze anwenden ist hier der elementare Weg, ganz ohne Ableitungen.

Gruß, Lutz

#5

Funktionen in Form von Multiplizierten Linearfaktoren bringen soll also einfacher sein als sie abzuleiten? Oder was meinst du mit x^2 kürzen? Sowas geht bestenfalls wenn man Linearfaktoren hat, wofür ich erstmal Nullstellen bestimmen würde. Der einfachste Weg der immer gleich einfach ist ist sicherlich der über die Ableitung: http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hos…

Oder wie würdest du den Grenzwert von zwei durcheinander geteilten Polynomen 5. oder 6. Grades allgemein schneller berechnen?

#6

Hallo überhaupt!

Oder wie würdest du den Grenzwert von zwei durcheinander
geteilten Polynomen 5. oder 6. Grades allgemein schneller
berechnen?

Wenn ich es für mich schnell wissen möchte, dann lasse ich l’Hospital oder Ausklammern im Kopf ablaufen, reduziere beide Polynome auf den Term mit dem höchsten Exponenten, kürze dann blitzschnell alle x’se weg und sehe dem Rest an, was passiert. :smile:

Liebe Grüße,

The Nameless

#7

moin;

warum in aller Welt Linearfaktoren? Wer hat davon gesprochen? Übrigens finde ich die Regel von l’hospital hier auch übertrieben, sondern einfach nur kürzen und auswerten, wie schon von Lutz Lehmann (hoffe habe den Namen richtig) geschrieben und wie ich hier mal skizzieren möchte:

\lim_{x\to\infty} \frac{4x^2-5}{-2x+x^2-3}=\lim_{x\to\infty} \frac{x^2(4-\frac{5}{x^2})}{x^2(1-\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2})}=\lim_{x\to\infty} \frac{4-\frac{5}{x^2}}{1-\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}

Die einfache Auswertung dieses Ausdrucks finde ich doch einfacher als die mehrmalige Ableitung nach der Regel von l’hospital (mal ganz davon abgesehen, dass es auf diese Weise auch eingängiger ist).

mfG

#8

In diesem Fall kann man zufällig leicht kürzen und zu einem Ergebnis kommen. Allgemein kann man aber in solchen Fällen immer ganz einfach mit l’hôpital zum Ergebnis kommen. Ich hatte ja bereits festgestellt, dass es mir dabei darum ging den allgemein besten Lösungsweg anzugeben, nicht den hier speziell einfachsten.