Hallo zusammen,
Ich habe eine DGL, die Ich lösen soll, nach x(t), welche folgendermaßen lautet:
x’’(t)+4*x’(t)+20*x(t)=2*pe(t)
Anmerkung: pe(t) ist eine Eingangsgröße, welche für t > 0 =2 ist und die Anfangsbedingungen x(0) = 0 und x’(0)=0 ist.
So, Ich (faule) Ratte dachte mir: "Jo, gibste dir den Laplace, weil die eLambda*t Sache einfach zu lang und somit doof ist für DGL-Sachen.
Also, mal kurz Laplace transformert:
s²*x(s)+4*s*x(s)+20*x(s)=4 | ausklammern und umstellen
x(s) = 4/(s²+4*s+20) |aufteilen in einfachere Terme
x(s) = 4 * (1/(s²+4*s+20))
… naja, einfacher geht es eben nicht…die quadratische Gleichung ist nicht für den reellen Bereich lösbar.
Gut, noch nicht verzagt -> Rücktransforation
x(t) = 1/(2*PI) Intagralunendlich bis-unendlich(4 * (1/(s²+4*s+20)*est )ds
… und ja hier beginnt das Debakel auch schon irgendwie…Ich hake hier, an diesem blöden Integral und mein Zettel besteht aus vielen hässlichen Lösungsansätzen, die aber alle ins Nirwana führen. =/
Die Endlösung für dieses Problem lautet:
x(t) = 1/5 + e-2*t*(-1/5 * cos(4*t)-0,1*sin(4t)) … Das mit der 4 reime Ich mir so zusammen, dass die aus meinem Zähler kommt und sozusagen mein w ist…nur beim Rest sieht es doof aus. =/
Kann mir jmd. auf die Sprünge helfen oder ob die elambda*t Sache doch empfehlenswerter wäre und wenn letzteres, wie sehe Ich, ob etwas Laplace oder nicht Laplace geeignet ist? ^^
Gruß,
Hanzo