Diagonalmatrizen

Wissenschaft Mathematik
#1

( Autor: TruEnemy (Mitglied seit: 3.7.2009) / Datum: 30.4.2012 00:38 Uhr / Geklickt: 2 mal )

Hallo,

ich habe hier zwei Matrizen mit komplexen Einträgen:

1/sqrt(2) -i/sqrt(2)
i/sqrt(2) 1/sqrt(2)

1/sqrt(2) i/sqrt(2)
i/sqrt(2) 1/sqrt(2)

Die erste nenne ich A1, die zweite nenne ich A2.
Von A1 weiß ich, dass sie hermitesch ist, das habe
ich gezeigt. Sowie auch, dass A2 unitär ist.

Ich soll die Matrizen nun diagonalisieren, d.h. EW
und EV berechnen. Nun, ich stelle also zunächst das
char. Polynom von A1 auf, setze es gleich 0, erhalte:

t_1,2 (t mit Index 1, 2) = 0, t_3,4 = sqrt(2)

Kann ich nun einfach die EW für die Diagonalmatrix nehmen?

0 0
0 sqrt(2)

wäre somit die diagonalisierte Matrix A1 (ich bezweifle,
dass sie die Trasformationsmatrizen sehen wollen).

Berechne ich das char. Polynom von A2 und setze es 0:

((1/sqrt(2)) - t)² + 0,5 = 0 und diese Gleichung hat
keine Nullstellen, also auch keine EW! Aber von unitären
Matrizen weiß man doch, dass der Betrag der EW 1 sein muss?!
Wie passt das denn zusammen? Irgendwo hapert es …

#2

Hi,

langes Wochenende. Das dauert schonmal etwas.

Wenn Du sowieso in den komplexen Zahlen rechnest, dann solltest Du wissen, dass jedes quadratische Polynom zwei komplexe Lösungen hat. Deren Betrag, wie schon richtig bemerkt, beidemale 1 sein muss. Da das Polynom, so wie es da steht, schon quadratisch ergänzt ist, kannst Du die komplexen Lösungen direkt ablesen.

Wieso kommst Du, der Notation nach, bei der ersten Aufgabe auf 4 Nullstellen eines quadratischen Polynoms?

Gruß, Lutz

#3

…in den komplexen Zahlen … jedes quadratische Polynom zwei
komplexe Lösungen … Deren Betrag … 1 sein muss.

Ja, da war mal sowas :smiley: Ich vergaß, vielen Dank.
Ich hatte nur das char. Polynom geplottet und
gesehen, dass es keine Nullstelle(n) hat.

Wieso … bei der ersten Aufgabe … 4 Nullstellen …?

Für die erste Matrix ergibt sich das selbe Polynom, nur,
statt ‚+‘ sind es ‚-‘ 0,5. Dieses Polynom hat zwei Null-
stellen, 0 und sqrt(2), und da die Klammer quadratisch
ist, zählt jede Nullstelle doch doppelt, oder nicht?

#4

Hi,

dann hast Du Dich vertan. Das charakteristische Polynom einer (n x n)-Matrix hat immer Grad n und damit n Nullstellen.

Gruß, Lutz

#5

Also das char. Polynom hat den richtigen Grad, nämlich 2,
und es handelt sich ja um eine (2 x 2)- Matrix. Ausgeschrieben:

((1/sqrt(2)) - t)² - 0,5 = (1/sqrt(2)) - t)(1/sqrt(2)) - t) - 0,5

Sowohl 0 als auch sqrt(2) sind Nullstellen dieser Gleichung, und
eigentlich dachte ich immer, dass, wenn man zwei Mal die gleiche
Nullstelle hat, also für jeweils eine Klammer 0 bzw. sqrt(2),
das die Nullstelle dann doppelt zählt. Klar, in der Diagonalmatrix,
die natürlich auch eine (2 x 2)-Matrix sein muss, sind die Nullstellen,
also die EW, jeweils nur ein Mal als Eintrag vorhanden.

#6

Setze zur Abkürzung 0.5=a^2, d.h. a=1/sqrt(2). Dann lautet Dein Polynom

(a-t)^2-a^2

und nach der dritten binomischen Formel (oder nach Ausmultiplizieren) ist das

(a-t-a)*(a-t+a)=(-t)*(2a-t)

Also pro Nullstelle nur ein Faktor. Das würdest Du auch erhalten, wenn Du die Nullstellen eine nach der anderen per Polynomdivision abspaltest.

Gruß, Lutz

#7

Hallo,

OK, nachvollziehbar, habe wohl etwas falsch verstanden. Danke!

Gruß.