Dirac-Funktion, Stossfunktion

[MrAnonym]

Hallo!

Ich muss/möchte gerne wissen was den genau der Unterschied zwischen den beiden Funktionen bzw. was diese Funktionen bezwecken.

Ich habe zwar ein Buch, wo was darüber steht, aber ich bekomms einfach nicht in den Kopf rein, also ich verstehs gar net.

Sprungfunktion:

Naja eine Sprungfunktion, ist eine Funktion die plötzlich von z.b. 0V auf 1V springt oder so.

f(t)=sigma(t) - Was ist mit diesem Sigma hier gemeint? Was meint man mit der Zuweisung/gleichstellung hier?

Ok, wenn man statt t „t-t0“ einsetzt, dann ist dieser Sprung verschoben.

f(t)=sigma(t-t0)-sigma(t-t1). hier springt die zeitverschobene Funktion 2mal, oder?. --> Was bedeutet dieses Sigma nun hier?

Die Ausgangsgröße der Sprungfunktion, ist ja die Sprungantwort oder? Wo sieht man die denn buw. als was kann man diese bezeichnen, was ist das genau?

Diracfunktion(Stossfunktion):
Eine Diracfunktion, kann als zeitliche Ableitung der Sprungfunktion angesehn werden. Warum? gibts da einen Beweis, wenn ja - welchen?

Ausgangsgröße hier wäre die Stoßantwort, gleiche Frage wie bei der Sprungantwort oben.

Was ist nun eine Sprung- und Stoßfunktion?
Wie ist die Sprung- und Stoßfunktion definiert?
Wie hängen die beiden zusammen?

Kann mir bitte jemand genau erklären bzw. die ganzen Fragen hier beantworten.

Weil ich hab auch schon gegoogelt, aber da finde ich nichts brauchbares und Wikipedia verstehe ich schon gar nicht.

Danke

mfg

[Der_Namenlose]

Hallo!

Naja eine Sprungfunktion, ist eine Funktion die plötzlich von
z.b. 0V auf 1V springt oder so.
f(t)=sigma(t) - Was ist mit diesem Sigma hier gemeint? Was
meint man mit der Zuweisung/gleichstellung hier?

Bist Du sicher, dass es sich um ein Sigma handelt? Ich kenne die Funktion unter dem Namen Theta oder Heavyside, http://de.wikipedia.org/wiki/Heaviside-Funktion.
Wie auch immer, die Funktionsdefinition hast Du ja selber schon fast gegeben, für Argumente (x-Werte) kleiner als Null ist der Funktionswert (y-Wert) gleich Null und für Argumente größer oder gleich Null ist der Funktionswert gleich Eins.

Zuweisung bedeutet, dass jedem x-Wert ein y-Wert zugewiesen wird. Das kann man zeichnerisch, in Worten oder mathematischen Rechenvorschriften tun. Anschließend gibt man der Zuweisung einen Namen, in Deinem Fall offenbar Sigma (auch wenn ich eher an Theta denke).

Ok, wenn man statt t „t-t0“ einsetzt, dann ist dieser Sprung
verschoben.

Richtig, nämlich an die Stelle t0. Denn nimmt t (als Variable) den Wert t0 an, so wird das Argument der Funktion gleich Null.

f(t)=sigma(t-t0)-sigma(t-t1). hier springt die zeitverschobene
Funktion 2mal, oder?. --> Was bedeutet dieses Sigma nun hier?

Richtig, Sprünge bei t=t0 und bei t=t1. Ist t größer als t0 und auch größer als t1, so sind beide Sigma-Ausdrücke gleich Eins und die Differenz f(t) ist gleich Null. Das gleiche gilt, wenn t kleiner als t0 und auch kleiner als t1 ist. Denn dann sind beide Sigma-Ausdrücke gleich Null, ebenso auch die Differenz. Wenn aber t in dem Bereich zwischen t0 und t1 liegt, dann ist ein Sigma gleich Null und das andere Sigma gleich Eins, die Funktion f(t) also entweder gleich Eins (wenn t1 > t0) oder gleich minus Eins (wenn t0 > t1).

Eine Diracfunktion, kann als zeitliche Ableitung der
Sprungfunktion angesehn werden. Warum? gibts da einen Beweis,
wenn ja - welchen?

Ehrlich gesagt wird Dir meines Erachtens der Beweis nichts nutzen, solange Du die Grundlagen (Definition, Anwendung in konkreten Rechnungen) nicht beherrschst, weil einiges an Mathematik verlangt wird.

Zur Delta-Distribution (Diracsche „Deltafunktion“) steht natürlich auch wieder auf der Wikipedia einiges erklärt, http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution#Able…. Der Abschnitt mit der Ableitung der Theta-Funktion hilft aber leider nicht weiter. Dafür empfehle ich ein umfangreiches Buch über mathematische Methoden oder ein Lehrbuch der Funktionalanalysis wie z. B.
http://www.amazon.com/Funktionalanalysis-Theorie-Anw… oder
http://www.amazon.com/Reelle-Funktionen-Funktionalan…
oder
http://www.amazon.com/Distributions-Physical-Enginee…
oder
http://www.amazon.com/Functional-Analysis-Theory-App…

Was ist nun eine Sprung- und Stoßfunktion?
Wie ist die Sprung- und Stoßfunktion definiert?
Wie hängen die beiden zusammen?

Na, den Zusammenhang über die Ableitung hast Du doch selber schon genannt.
Die Definition der beiden Funktionen findest Du noch mal übersichtlich auf den beiden oben verlinkten Seiten der Wikipedia.

Kann mir bitte jemand genau erklären bzw. die ganzen Fragen
hier beantworten.

Nein. Einiges schon, aber weder „alles“ noch „genau“, tut mir leid.

Weil ich hab auch schon gegoogelt, aber da finde ich nichts
brauchbares und Wikipedia verstehe ich schon gar nicht.

Das musst Du präzisieren. Mit „verstehe ich gar nicht“ läßt sich in der Regel wenig anfangen.

Liebe Grüße,

The Nameless

[Alexander_H_8968b5]

Hallo!

Die Thetafunktion oder „Sprungfunktion“ wird oft dazu verwendet, eine Funktion in einem Gewissen Bereich zu verwenden und ise überall sonst null zu setzen. Zum Beispiel lässt sich die funktion |x| ja auflösen im f(x)=-x für x0. Das ist natürlich mühsam so zu schreiben. Mit der Thetafunktion geht das besser:
f(x)=-x*Theta(-x) + x*theta(x) . Wie du weißt ist die Thetafunktion =0 solange ihr „Inputwert“ negativ ist und =1 wenn er positiv ist, also erfüllt diese Angabe genau |x|.

Zur Stossfunktion: Sie wird oft so genannt, weil man sich das vorstellen kann wie wenn man mit einem Hammer ordentlich wo draufhaut zB auf einen Amboss. Die Kraft wirkt nur ganz kurz dafür sehr stark auf den Amboss.

Im grenzfall, dass die Zeitdauer gegen null geht und die Kraft gegen unendlich hast du die delta-distribution. Sie ist überall null ausser an 0 selbst, da ist sie unendlich. Da das keine sinnvolle Funktion mehr ist, bezeichnen wir sie als distribution.

Dass sie als theta’(x) geschrieben werden kann ist ersichtlich: Die Thetafunktion ist immer konstant 0 oder 1, d.h. ihre Steigung ist überall null, außer da wo sie springt, da ist sie unendlich steil, weil du zwei Punkte mit einer vertikalen Line verbinden müsstest.

Sie wird oft verwendet, um Dinge nur an einem Punkt zu definieren: zB sitzt eine punktförmige Ladung mit Wert Q genau am Punkt x=y=z=0 also im Ursprung. Dann kann ich die Ladungsverteilung schreiben als roh=Q*delta(x)*ddelta(y)*delta(z).

Hoffe geholfen zu haben. lg
Alex

[Der_Namenlose]

Integral drüber!
Hallo,

das war eine schöne Ausführung!

Sie wird oft verwendet, um Dinge nur an einem Punkt zu
definieren: zB sitzt eine punktförmige Ladung mit Wert Q genau
am Punkt x=y=z=0 also im Ursprung. Dann kann ich die
Ladungsverteilung schreiben als
roh =Q*delta(x)*ddelta(y)*delta(z).

Das Symbol ist natürlich ein rho.

Du solltest nur noch dazuschreiben, dass der Ausdruck mit den Deltas erst eine Bedeutung bekommt, wenn man die Ladungsdichte über den Raum integriert. Es ist ja nur eine Gewohnheit der Physiker, dass sie die mathematisch notwendigen Integrale nicht immer mit aufschreiben.

Die Gesamtladung im Raum V beträgt

Q_\text{ges} = \int_V \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z , \rho(x,y,z)
= \int_V \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z , Q \delta(x)\delta(y)\delta(z)
= Q.

Liebe Grüße,

The Nameless