Hallo Mathematikinteressierte,
die Gleichung
x^2 - 4 = 0
kann man lösen indem man eine Nullstelle rät ( z.B. x=2) und dann
eine Polynomdivision durchführt.
x - 2 = 0
(x^2 - 4) : (x - 2) = x + 2
x^2 - 2x
2x
2x - 4
0
Nun zu meiner Frage:
Warum kann man bei der Polynomdivision durch 0 dividieren?
(Denn x-2 ist ja gleich null)
Hallo Mathematikinteressierte,
die Gleichung
x^2 - 4 = 0
x^2 = 4
Man braucht nicht zu raten.
Gruß
Frank
Hallo Mathematikinteressierte,
die Gleichung
x^2 - 4 = 0
kann man lösen indem man eine Nullstelle rät ( z.B. x=2) und
dann
eine Polynomdivision durchführt.
[…]
Nun zu meiner Frage:
Warum kann man bei der Polynomdivision durch 0 dividieren?
(Denn x-2 ist ja gleich null)
Die Polynomdivision ist keine Division im eigentlichen Sinne. Es wird ein Linearfaktor abgespalten. Das geht, weil laut Wurzelsatz von Vieta jedes Polynom als Produkt von Linearfaktoren betrachtet werden kann.
Durch die „Polynomdivision“ wird der Grad des Polynoms lediglich um eins verringert. Es findet keine Division durch Null statt.
Gruß
Fritze
Hallo Mathematikinteressierte,
die Gleichung
x^2 - 4 = 0
kann man lösen indem man eine Nullstelle rät ( z.B. x=2) und
dann
eine Polynomdivision durchführt.
Hi,
kann es sein, dass ich jetzt total falsch liege, dann will ich nichts geschrieben haben und nochmal die Schule besucjen!!!
Aber warum willst Du Polynomd. dürchführen??? Und wieso willst Du eine Nullstelle raten.
Die Aufgabe hat genau zwei Nullstellen und zwar +2 und -2 oder wie oder wat…
x - 2 = 0
(x^2 - 4) : (x - 2) = x + 2
x^2 - 2x
2x
2x - 4
0Nun zu meiner Frage:
Warum kann man bei der Polynomdivision durch 0 dividieren?
(Denn x-2 ist ja gleich null)
Hallo Mathematikinteressierte,
Hallo Bertram!
die Gleichung
x^2 - 4 = 0
kann man lösen indem man eine Nullstelle rät ( z.B. x=2) und
dann eine Polynomdivision durchführt.x - 2 = 0
(x^2 - 4) : (x - 2) = x + 2
x^2 - 2x
2x
2x - 4
0Nun zu meiner Frage:
Warum kann man bei der Polynomdivision durch 0 dividieren?
(Denn x-2 ist ja gleich null)
Du führst die Division doch nicht absolut durch, sondern zum Zweck, die Gleichung aufzulösen. Dabei bleiben „links“ und „recht“ immer gleich. Insofern hast Du keine echte Division gemacht, sondern lediglich eine Hilfsoperation.
Wenn Du dagegen eine echte Division durch Null probierst, ist das Ergebnis immer = Error!
Weisst Du - obwohl es vielleicht eher ins Brett Philosophie gehörte - weisst Du eigentlich, warum x/0 immer zum Fehler führt?
Lass Dir Zeit mit der Antwort…
(sie kann das Vorstellungsvermögen sprengen!)
CU & have fun!
DannyFox64 
Hallo, ihr Lieben!
Ich frage mich wie Bertram auch, ob man nicht doch (auch) mit 0 kürzt, bei einer „Polynomdivision“, denn ist deren Durchführung nicht auch ein Kürzen?
Unser Lehrer sagt alerdings auch oft: „Mädchen fehlt da irgendwas!“
Ist aber eine „Division“ nicht immer eine Art Teilen?
Nun habe ich aber wohl auch das ganze nie richtig verstanden und finde mich allmählich als Mädchen zu dumm dafür, das zu begreifen.
Zum Beispiel wenn man den Fall eines 100kmh schnellen Autos über einen unendlich kurzen Zeitraum 0sec (null Sekunden) betrachtet. Wie berechnen wir seine Geschwindigleit? Und ist das Auto in diesen 0 Sekunden nicht mehr 100km schnell?
Kann das bitte einer erklären, ob man überhaupt zB z/z (fällt mir grade ein, das „z“, kann aber ja auch jeder andere Buchstabe da stehen, bloß x ist ja irgendwie sowieso nix, kommt mir so vor) so generell kürzen darf, wenn z doch aber auch den Wert 0 annehmen kann?
Kann man überhaupt einfach sagen, die Geschwindigkeit berechnet man aus Weg/Zeit, ohne immer dazu zu bemerken: „außer wenn gar KEIN Weg zurückgelegt wird, wegen der nur unendlich kurzen Zeitspanne von 0sec“, oder so?
Und wenn man sich seine Stromrechnung ansieht: kostet vielleicht die Kilowattstunde 20ct, also zahlt man doch 20ct/kWh. Und wenn man gar nichts verbraucht, zahlt man dann nicht mehr 20ct/kWh?
Ich muß sagen, da komme ich ein wenig druchaneinder
Steckt da vielleicht eine ganz besondere männliche Logik dahinter?
Ich wäre erleichtert, wenn das jemand für jeden verständlich erklären könnte, und freue mich auf Antworten, die auch mir einleuchten.
liebe Grüße, Ani
P.S.: ich hoffe, ich habe mich nun nicht allzu dumm ausgedrückt und bitte aber schonmal im voraus um Vergebung. Ich bin einfach ein wenig tüddelich geworden in dieser Frage.
Vielen Dank an alle von euch die sich die Mühe gemacht haben meine Frage zu beantworten.
Allerdings haben Stefan und Frank meine Frage glaube ich nicht richtig gelesen. Es ging mir nämlich nicht um die Lösung der Gleichung x°2 = 4 sondern um die Frage warum man bei der Polynomdivision durch null dividieren darf. Die Gleichung war nur
als Beispiel gedacht um die Frage zu erläutern.
Aber nichts für ungut. Ich danke euch trotzdem für eure Mühe.
Auch Ani danke ich für ihre Antwort aber ehrlich gesagt verstehe ich nicht auf was du hinaus willst. Aber auf jeden Fall will ich dir sagen
dass du dir von niemand einreden lassen darfst, dass Frauen allgemein weniger logisches Verständniss haben als Männer. Es gibt zahlreiche Beispiele die beweisen dass man das nicht verallgemeinern kann.
Die Antwort von DannyFox64 hat mir weitergeholfen aber insbesondere die Antwort von Fritze war äußerst hilfreich.
Deshalb nochmals danke für eure Mühe.
Cu
Bertram
Hallo, ihr Lieben!
Ich frage mich wie Bertram
mit 0 kürzt, bei einer „Polynomdivision“, denn ist deren
Durchführung nicht auch ein Kürzen?
Nein.
Unser Lehrer sagt alerdings auch oft: „Mädchen fehlt da
irgendwas!“
Was ich von deutschen Lehrern halte, ist ja in dem zuständigen Brett hinreichend dokumentiert.
Ist aber eine „Division“ nicht immer eine Art Teilen?
Ja. Aber die Polynomdivision nicht.
Nun habe ich aber wohl auch das ganze nie richtig verstanden
und finde mich allmählich als Mädchen zu dumm dafür, das zu
begreifen.
Glaube ich nicht.
Zum Beispiel wenn man den Fall eines 100kmh schnellen Autos
über einen unendlich kurzen Zeitraum 0sec (null Sekunden)
betrachtet. Wie berechnen wir seine Geschwindigleit?
Gar nicht.
Und ist
das Auto in diesen 0 Sekunden nicht mehr 100km schnell?
Das ist das fundamentale Problem der Heisenbergschen Unschärferelation. Man kann niemals gleichzeitig den Ort und den Impuls (die Geschwindigkeit) eines Körpers kennen. Je genauer man das eine betrachtet, desto ungenauer wird das andere. Für einen bestimmten Zeitpunkt kennst Du zwar sehr genau den Ort des Autos, aber nicht dessen Geschwindigkeit. (Und nein, auch die Beweisfotos von Radarkästen sind kein Widerspruch, die Radarmessung beruht auf Differenzwerten zu mehreren Zeitpunkten.)
Kann das bitte einer erklären, ob man überhaupt zB z/z (fällt
mir grade ein, das „z“, kann aber ja auch jeder andere
Buchstabe da stehen, bloß x ist ja irgendwie sowieso nix,
kommt mir so vor) so generell kürzen darf, wenn z doch aber
auch den Wert 0 annehmen kann?
Wenn z den Wert Null annehmen kann, dann darf man z/z auch nicht kürzen. Allerdings darf man eine Grenzwertbetrachtung machen, was passiert wenn man sich sehr sehr nahe (infinitesimal, also genau so nahe, dass jeder von Dir genannte Abstand unterschritten wird an Null herantastet.
Kann man überhaupt einfach sagen, die Geschwindigkeit
berechnet man aus Weg/Zeit, ohne immer dazu zu bemerken:
„außer wenn gar KEIN Weg zurückgelegt wird, wegen der nur
unendlich kurzen Zeitspanne von 0sec“, oder so?
Du hast es genau richtig erkannt. Die Geschwindigkeit ist nämlich nicht einfach „WegdurchZeit“ sondern ein Quotient aus „zurückgelegter Strecke“ und „verstrichener Zeit“ (ein Differenzenquotient, oder auch Differential ds/dt). Am Ende studierst Du noch Physik!
Und wenn man sich seine Stromrechnung ansieht: kostet
vielleicht die Kilowattstunde 20ct, also zahlt man doch
20ct/kWh. Und wenn man gar nichts verbraucht, zahlt man dann
nicht mehr 20ct/kWh?
Wenn man nichts verbraucht, dann zahlt man in der Tat auch nichts. Eine halbe kWh wird mit 10ct zu Buche schlagen, etc.
Ich muß sagen, da komme ich ein wenig druchaneinder
Och, kommt mir nicht so vor.
Steckt da vielleicht eine ganz besondere männliche Logik
dahinter?
Nein. Im Gegenteil. Physiker tun sich mit den allzu stregen mathematischen Formalismen oft genug selbst schwer.
Ich wäre erleichtert, wenn das jemand für jeden verständlich
erklären könnte, und freue mich auf Antworten, die auch mir
einleuchten.
Vielleicht hat’s ja schon ein wenig geholfen. Sonst frag halt nochmal nach.
Gruß & gute Nacht
Fritze (der jetzt aber auch erstmal ins Bett geht
Division durch Null
Ich bin wohl doch nicht phantasiereich genug, um mir das alles exakt vorstellen zu können, lieber Fritze, auch mit der Hilfe meines mathematisach/physikalisch gebilde®ten gegenwärtigen Freundes.
Ich frage mich wie Bertram
„Nein. “
Nun versteh ich: kein Kürzen, nur zum Berechnen der Faktoren „teilt“ man. („durch 0 teilen“ also nur theoretisch nicht ausgeschlossen")
Unser Lehrer sagt alerdings auch oft: „Mädchen fehlt da irgendwas!“
„Was ich von deutschen Lehrern halte, ist ja in dem zuständigen Brett hinreichend dokumentiert.“
Aber unser ist eigentlich ein ganz Lieber. Und soooo süß! Bloß die blöden We…, auf die steh ich überhaupt nicht! Und ihr Jungs, ihr seit doch sowieso alle so schön klug und stark! Was ihr alles wißt!
Bei den Lehrern habe ich aber noch gar nicht ins Brett reingekuckt. Was schreibst du da denn alles?
Ist aber eine „Division“ nicht immer eine Art Teilen?
„Ja. Aber die Polynomdivision nicht.“
Da frag ich mich, ob das, so ausgedrückt, nun wieder überhaupt einer verstehen kann!
Nun habe ich aber wohl auch das ganze nie richtig verstanden und finde mich allmählich als Mädchen zu dumm dafür, das zu begreifen.
„Glaube ich nicht.“
BITTE, was glaubst du nicht?
Daß ichs bin oder daß ichs finde?
Zum Beispiel wenn man den Fall eines 100kmh schnellen Autos über einen unendlich kurzen Zeitraum 0sec (null Sekunden) betrachtet. Wie berechnen wir seine Geschwindigleit?
„Gar nicht.“
WIESO? frag ich Dummerchen mich.
Und ist das Auto in diesen 0 Sekunden nicht mehr 100km schnell?
„Das ist das fundamentale Problem der Heisenbergschen
Unschärferelation. Man kann niemals gleichzeitig den Ort und den Impuls (die Geschwindigkeit) eines Körpers kennen. Je genauer man das eine betrachtet, desto ungenauer wird das andere. Für einen bestimmten Zeitpunkt kennst Du zwar sehr genau den Ort des Autos, aber nicht dessen Geschwindigkeit. (Und nein, auch die
Beweisfotos von Radarkästen sind kein Widerspruch, die
Radarmessung beruht auf Differenzwerten zu mehreren
Zeitpunkten.)“
JA, kennich, mein Froind spricht auch oft davon, und von Einstein und von den Quanten.
Aber da spricht er immer von Atomen und anderen „Elementarteilchen“. Sind denn Autos auch so eine Art „Elementarteilchen“?
Mein Froind mag ich schon garnicht mehr Fragen! Der sagt immer bloß: „Mädchen!“
Noilich sah ich übrigens einen TV Film „Fluß der Zeit“, auf Arte glaub ich.
Kann man denn überhaupt „Zeit“ in kleinste Portionen zerlegen, wo doch die Zeit „fließen“ tut?
Gibt es eigentlich „Momente“, wenn doch die „Zeit fließt“? Wie kurz kann ein „Moment“ denn höchstens sein?
Und wie ist zB 100kmh in einem „Moment“ nicht mehr Weg durch Zeit?
Was ich auch nicht verstehe ist dein Begriff von „verstrichener Zeit“. Wie schnell ist eigentlich die Zeit selbst?
Kann denn Zeit auch ganz und gar verstreichen? Bis gar keine mehr da ist?
Wieviel Zeit haben wir noch?
„Wenn man nichts verbraucht, dann zahlt man in der Tat auch nichts. Eine halbe kWh wird mit 10ct zu Buche schlagen, etc.“
DA habe ich mich wieder gaaanz schlecht ausgedrückt. natürlich meinte ich mit „zahlt ma…“ nicht den Geldbetrag den man „zahlt“, sondern nur den, den man pro Stunde zahlt. Rate oder Quotient nennt ihr, das glaube ich.
Steckt da vielleicht eine ganz besondere männliche Logik dahinter?
„Nein. Im Gegenteil. Physiker tun sich mit den allzu stregen mathematischen Formalismen oft genug selbst schwer.“
NOCHMAL BITTE: sag mir bitte: was ist hier „im Gegenteil“?
„Vielleicht hat’s ja schon ein wenig geholfen. Sonst frag halt nochmal nach.“
EIN WENIG schon, und dafür danke ich dir von Herzen.
Ich weiß nur nie genau, WAS ich alles für Fragen habe.
Gruß & guten Morgen!
Ani
Wer weiß, vielleicht studiere ich tatsächlich einmal Mathematik! Physik nicht so gerne. ich habe irgendwie Angst vor Strom.
die Gleichung
x^2 - 4 = 0
kann man lösen indem man eine Nullstelle rät ( z.B. x=2) und
dann
eine Polynomdivision durchführt.x - 2 = 0
Warum kann man bei der Polynomdivision durch 0 dividieren?
(Denn x-2 ist ja gleich null)
Hi.
Ich glaube, ihr macht das alles viel zu kompliziert und versucht ins Philosophische abzudriften. Darum gehts doch gar nicht. Bei der Polynomdivision dividiert man unter der Voraussetzung, dass der Divisor NICHT 0 ist. Bleiben wir im Beispiel:
x2-4=0
Eine Lösung geraten oder sonstwie erhalten: x=2.
Dann haben wir diese Lösung ja nun in der Tasche und können für den Rest der Rechnung also sagen: Sei nunmehr x ungleich 2. Wir wollen ja die übrigen Lösungen, die ungleich 2 sind, denn 2 haben wir schon. Unter der Voraussetzung, dass x ungleich 2 ist, darf man problemlos durch (x-2) dividieren, denn es kann dann ja nicht mehr 0 sein. Was rauskommt, ist dann in der Tat eine Gleichung, die die Lösung bei x=2 nicht mehr liefert, sondern nur noch die restlichen.
Würde man wirklich durch 0 dividieren, so würde man statt dessen in der Tat Mist bauen: Nochmal am Beispiel:
x2-4=0
Umgeformt (3. binomische Formel):
(x+2)(x-2) = 0
Wenn man jetzt die Division durch (x-2) einfach so ausführt - ohne sich klar zu machen, dass das (bei x=2) auch mal 0 werden kann - dann kriegt man
(x+2)(x-2)/(x-2) = 0
Dann kürzt man ganz naiv den Term (x-2) weg und hat noch
x+2 = 0
also
x=-2
Die andere Lösung, die bei x=2, hat man durch die (unerlaubte!!!) Division durch 0 vernichtet. Man darf eben NICHT durch 0 teilen.
Wenn man das bei irgendwelchen „komischen deutschen Lehrern“ nur als REZEPT lernt, ohne die mathematischen Voraussetzungen zu durchdringen, dann fühlt sich das bei der Polynomdivison zwar wie eine Division durch 0 an, ist aber keine. Um es nochmal zu sagen: Die Voraussetzung ist gerade, dass der Divisor nicht 0 ist.
So long
Eckard
P.S. Wird eine tiefer gehende philosophische Diskussion über die Division durch 0 als solche gewünscht? Dann nur zu
Hallo, Eckard
danke, jetzt meine ich, es auch endlich verstanden zu haben!
Naja, aber so richtig „philosophisch“ sind wir doch eigentlich nicht gewesen. Man muß eben doch ein wenig darüber nachdenken, oder?
Die Algebra ist aber auch „ganz schön“ vertrackst, findet ihr nicht?!
Was mir nun noch gerade einfällt ist wirklich eher spaßig gemeint und ich möchte damit deine „Formulierfähigkeit auf eine Probe stellen“
Wenn man nun z.B. x^2 - 2x + 1 in Faktoren zerlegen will, wie geht man da mit der „zufällig gefundenen“ Nullstelle x = 1 um?
Dabei vermeidend, daß man eventuell doch durch 0 teilt?
Oder ist das doch wieder nur ein Rückfall in die „dumme Ani“?
Fröhliches G´schpusi,
Ani
Hallo,
Was mir nun noch gerade einfällt ist wirklich eher spaßig
gemeint und ich möchte damit deine „Formulierfähigkeit auf
eine Probe stellen“
Wenn man nun z.B. x^2 - 2x + 1 in Faktoren zerlegen will, wie
geht man da mit der „zufällig gefundenen“ Nullstelle x = 1 um?
Dabei vermeidend, daß man eventuell doch durch 0 teilt?
Man führt wie gehabt die Polynomdivision durch. Man vermeidet das „durch Null teilen“, indem man sagt, diese Operation gilt für alle x außer x=1. Wie gesagt, die Polynomdivision ist keine Dvision im herkömmlichen Sinne, sie dient lediglich dem Abspalten von Linearfaktoren. Solange man sich dessen bewusst ist, darf man das ruhig machen 
Im übrigen ist natürlich zu überlegen, in wie weit ein solches Vorgehen in der Praxis überhaupt zu Ergebnissen führt. Um eine Gleichung stets geschlossen lösen zu können, darf sie ja höchstens vom Grad vier sein. Das ist nicht so toll. Im übrigen können die Nullstellen natürlich auch irrationale Zahlen sein. Schon bei Beschränkung auf rationale Zahlen wird es knifflig. Wer „rät“ schon eine Nullstelle 7,4086?
Darum sollte man sich als nächstes mal nummerische Lösungsverfahren anschauen und wie schnell sie zu Ergebnissen führen können und wie genau sie dann sind.
Gruß
Fritze
Hallo
Deine Frage ist zwar schon etwas älter, aber:
Wenn Du eine Polynomdivision durchführst, teilst Du NICHT durch null. Warum nicht? Überleg Dir, wo das Polynom lebt. Nicht in den Reellen Zahlen, sondern im Polynomring. Polynome sind sowas wie Zahlen, mit denen Du rechnest, a priori setzt Du da noch nichts ein, (x-2) ist also nicht null, da Du erstmal nichts einsetzt. Wenn Du die Polynomdivision durchführst, spaltest Du die „Linearfaktoren“ des Polynoms ab, das sind die Primzahlen des Polynomringes. Du berechnest also die Primfaktorzerlegung des Polynoms. Und an diesen Primfaktoren kannst Du die Nullstellen erkennen.
Also:
Du hast das Polynom p(x) und die (geratene oder wie auch immer) Nullstelle a, damit hast Du einen Linearfaktor gefunden: (x-a), jetzt führst Du die Polynomdivision durch und erhältst:
p(x)/(x-a)=q(x), bzw.
p(x)=q(x)*(x-a)
Jetzt interessieren Dich die weiteren Nullstellen von p. p ist null, wenn die rechte Seite null ist, die ist null, wenn x=a ist, oder wenn q(x)=0 ist. Jetzt lässt Du wegen der Übersichtlichkeit das (x-a) weg und machst das gleiche mit q(x).
Du teilst also in keinem Schritt wirklich durch null, sondern nur durch Linearfaktoren, die im Polynomring nicht null sind.
Division durch Null
Hallo, Till, lieb, daß du uns das noch einmal verklickerst.
Noch schöner wär´s gewesen, du hättest den ganzen thread im Kopf dabei (weil gelesen).
Ich hoffe, mich nicht mal wieder im Ton zu vergreifern und bitte um im vorhinein um Vergebung!
Ist das nun das „eigentliche, ultimatiefe“ Prinzip der Algebra, der „Buchstabenrechnung“, das man „nicht wirklich“ mit Zahlen rechnet?
Rechnet man in der Algebra nicht aber gerade
„mit allen Zahlen“?
Denn was aber ist der Unterschied zwischen: „`(Buchstaben)Algebra´ repräsentiert im Prinzip ALLE Zahlen“ und: „Algebraische Zeichen - da darf man sich aber nun NICHT ALLES eingesetzt vorstellen“? Frage ichmich jedenfalls. Und ganz doof bin ich nun nicht.
Danke also für deinen Beitrag, aber für mich jedenfalls ist das noch lange nicht ausdiskutiert, genausowenig wie die Natur der „komplexen Zahlen“. Für die meisten weisen Matheamten schon.
Aber man kann natürlich solange reden, „bisses keinein“ mehr interessier(en tu)t. Vor allem, weil keiner mehr was versteht, aber (sich) das nicht eingestehen will.
Je mehr eigene Unsicherheit, desto mehr Worte.
So sind wir numal, wir Mathematen.
Liebe Krüsse, Moinmoin, mAni
P.S.: Ich habe eben nicht wirklich mit Worten ausgeholt; nur mit rein exemplarisch ausgefüllten Worthülsen und Spruchblasen. Also, da steht garnichts konkretes drin; denkt euch alles und nichts glz rein!
Pardon! Garnix natürlich nicht!
P.P.S.S.: Rübe zählt aber auch gar nicht wirklich!
Zahl Polynom
Hallo,
Sorry, dass ich mich einmischen, aber Till hat absoult recht. Man teilt nicht durch 0, sondern durch (x-2). Das eine ist eine Zahl, das andere ein Polynom, das ist was ganz anderes.
Gruß
Oliver
und teilen ungleich teilen…
Vergebung, lieber Oliver, aber „soul-off“
und „man“ ist nicht gleich „man“
Ich habe wieder mal das Problem, daß „keiner
versteht mich!
Uääääähhhh!“
ja liest/studiert denn überhaupt (außer den geliebten
Mathehassern, natürlich) jemand, bevor er kommentiert?
Naja, manchmal dauerts bei mir auch länger!
Liebe Ggrüße, Moinmoin, mAni
Tut mir leid, aber ich habe Deine Antworten (beide), leider nicht verstanden. Aber ich glaube, Du hast irgendwo geschrieben, dass Du Mathematik studieren willst. Dabei wird Dir innerhalb der ersten zwei oder drei Wochen das folgende begegnen
Das Prinzip bei der ganzen Geschichte ist das folgende:
Du hast einen Ring (lass Dich nicht von dem Wort täuschen, das ist nicht so ein Ding mit Loch in der Mitte), ein Ring ist eine algebraische Struktur bit gewissen Eigenschaften:
Du kannst addieren
Du kannst multiplizieren
Er ist assoziativ: (a+b)+c=a+(b+c) , dlg. für Multiplikation
Es gibt ein neutrale Elemente e und e’ mit
a*e=a und a+e’=a
Aber:
Es gibt nicht zwangsläufig ein Element a’ (inverses Element) mit
a*a’=e
Aber es gibt -a:
a+(-a)=e’
Soviel zur Theorie, ich hoffe ich habe nichts vergessen.
BEISPIEL:
Die ganzen Zahlen
Du kannst addieren und multiplizieren und erhältst immer eine ganze Zahl, assoziativ sind sie auch. Neutrale Elemente:
a+0=a
a*1=a
Die negativen Zahlen sind die Inversen bzgl. der Addition, aber es gibt keine Inversen der Multiplikation, außer für 1 und -1. Z.B. ist 1/3 (das Inverse zu 3) keine ganze Zahhl.
So
Zusätzlich sind die ganzen Zahlen ein „euklidischer Ring“, der wird nochmal durch diverse Eigenschaften definiert (übrigens sind sie auch ein noetherscher Ring, wo Du schonmal Emmy Noether erwähnt hast).
Jetzt denk an Polynome (aber nicht als Funktionen). Du kannst Polynome addieren und multiplizieren, es gibt neutrale Elemente (0 und 1, konstante Polynome), alles ist assoziativ, es gibt additiv inverse (zu p -p), aber keine multiplikativ Inversen (1/p ist kein Polynom). Ergo ist die Menge der Polynome ein Ring. Sogar ein euklidischer Ring.
In euklidischen Ringen gilt der Satz von der Primfaktorzerlegung. In Z heißt das soviel wie
12=2*2*3
Im Polynomring gilt das auch, nur sind die Elemente halt Polynome, also auch die Primfaktoren. Und Du kannst zeigen, dass die Primfaktoren genau die Polynome (x-a) sind, wobei a eine Nullstelle ist, bzw. bei reellen Polynome noch Polynome zweiten Grades, díe keine reelle Nullstelle haben (z.b. x^2 + 1). Was Du bei der Polynomdivision machst ist also eine Primfaktorzerlegung. Und anhand der Primfaktoren erkennst Du dann die Nullstellen, die die PolynomFUNKTION dann hat.
Ach ja:
Das ist KEIN Rechnen mit Buchstaben, das ist Rechnen mit Ringelementen, die sind nämlich eigentlich alle gleich.
In der Mathematik geht es darum, diverse Dinge auf elementare Eigenschaften runterzubrechen. Deswegen haben wir die Ringe gefunden, weil alles, was Ringeigenschaften hat sich genau gleich verhält.
Ich hoffe, Du hast das verstanden, wenn nicht, frag nochmal nach.
Und ich sage Dir:
Das Studium macht echt Spaß
Till
Hallo!
ich wollte nur mal schnell meinen senf dazu geben, ich glaube, es gibt auch eine einfache (will sagen ohne polynomring) erklärung:
was man eigentlich macht, ist einfach ausklammern! wenn man so will, schreibt man das polynom bei der linearfaktorzerlegung ja nur anders:
z.B. x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-3)(x-2)(x-1)
wenn man die rechte seite hat, muss man nur ausmultiplizieren, um die linke zu bekommen. aber was macht man, wenn man die linke seite hat? offensichtlich stehen in den klammern die einzelnen nullstellen des polynoms (also 3, 2, 1). weiß man eine nullstelle, kann man diesen faktor einfach ausklammern: …=(x^2-5x+6)(x-1).
wenn man so will führt man ja keine operation aus am term, man schreibt ihn nur um!
ich meine, ich darf doch anstatt x^2 auch x*x schreiben, oder anstatt von x^2+x auch (x+1)*x schreiben (beidemale klammere ich einfach x aus); das „obwohl“ x ja auch null sein kann, das ist hier doch egal. der gag ist halt nur, wenn ich jetzt im obigen beispiel (x-1) ausklammern will, wie weiß ich, was übrig bleibt? in dem ich den übrigen term durch (x-1) „dividiere“; so rechne ich das für mich aus. faktisch schreibe ich das polynom aber nur anders.
naja vielleicht war das noch mal ein anderer gesichtspunkt?