jupp sehe ich auch so.
@nordwand:
Was spricht dagegen, die beiden Hebel oben und unten in den Krümmungsmittelpunkten festzumachen? Beim Abrollvorgang sind die beiden Mittelpunkte immer 2R voneinander enfernt (Invariante).
Suchen wir andere Punkte, die beim Abrollvorgang voneinander einen konstanten Abstand haben. Also bekommen deine beiden Körper „K1“ (fest) und „K2“ (beweglich) je ein Koordinatensystem „1“ und „2“. Die Koordinatensysteme liegen in den Kreismittelpunkten „M1“ und „M2“. In Ausgangsstellung (phi = 0°) liegt der Ursprung von System „2“ auf Koordinaten (2R | 0) in System „1“. In Endstellung (phi = 90°) liegt er auf (0 | -2R). Dargestellt in Abhängigkeit von phi:
M2 = 2R (cos(phi) | -sin(phi) )
Wir suchen beliebige Punkte P1 = (x1| y1) und P2 = (x2 | y2) auf den beiden Körpern, dargestellt in ihren jeweiligen Koordinatensystemen. Der Abstand P1P2 stellt die ersten Gelenkstange dar und soll konstant sein. Dazu also erst beide Punkte im „1“-System darstellen:
Ich verkürze jetzt die Schreibweise: c = cos(phi), s = sin(phi)
P1 = (x1 | y1)
P2 = (x2c + y2s | y2c - x2s) + 2R (c | -s)
= (y2s + x2c + 2Rc | y2c - x2s - 2Rs)
Der Abstand der beiden Punkte (oder auch das Quadrat der Abstände) soll konstant sein
const =
(x1 - y2s - x2c - 2Rc)² + (y1 - y2c + x2s + 2Rs)² = 4R² - 4Rx1c + 4Rx2 + 4Ry1s + x1² - 2x1x2c - 2x1y2s + x2² + 2x2y1s + y1² - 2y1y2c + y2²
Der letze Umrechnungsschritt lief mit wolframalpha:
Das Ganze wird nach sin und cos sortiert. die Terme ohne sin und cos sind sowieso konstant, also
const = c*(-4Rx1 - 2x1x2 - 2y1y2)
und
const = s*(4Ry1 - 2x1y2 +2x2y1)
Eine bereits bekannte Lösung ist, x1,x2,y1,y2 alle auf 0 zu setzen (Gelenke in den Kreismittelpunkten fest machen).
die anderen Lösungen müssen folgende beiden Gleichungen erfüllen
2Rx1 = -x1x2 - y1y2
2Ry1 = +x1y2 - y1x2
Oder auch
2R = -x2 - y1/x1 * y2
2R = -x2 + x1/y1 * y2
Diese Bedingungen erfüllen vielleicht noch andere Punkte P1 und P2. Wir halten fest:
- x1 darf nicht 0 sein.
- y1 darf nicht 0 sein.
Zieht man die beiden Gleichungen vonweinander ab, steht da
x1/y1y2 = y1/x1y2
Mit anderen Worten:
- y2 muss 0 sein
- x2 muss -2R sein
- x1 und y1 wären frei wählbar
Aaaaber: der Punkt P2 = (-2R|0) läge außerhalb der Körpers K2. Genauer gesagt wäre das der in Ruhe befindliche Momentalpol M1 des Körpers K2. Den könnte man natürlich mit jedem beliebigen Punkt P1 verbinden.
Ergo: dein Gelenk funktioniert nur mit zwei Drehachsen und die müssen im Mittelpunkt der Krümmungskreise festgemacht werden (wie von Helmut gezeichnet). Mit vier Drehpunkten und zwei gegeneinander gedrehten Verbindungsstangen haut das nicht hin.
PS: Ohne das gebastelte „Modell“ hätte ich nicht verstanden, was du eigentlich willst.
)
