Dreieck

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Brauche Hilfe bei dem Rätsel, weiß nicht wie man so eine Aufgabe angehen kann… :frowning:

Gegeben ist ein Quadrat mit 8cm Kantenlänge
und ein gleichseitiges Dreieck mit 4cm Kantenlänge.

Diese Dreieck wird nun auf den Innenseiten des Quadrats im Uhrzeigersinn so lange abgerollt (eine der Spitzen bildet jeweils den Drehpunkt), bis es sich wieder in der Ausgangslage befindet.

Wie lange ist der Weg, den die eine Spitze des Dreiecks zurücklegt ?

#2

naja, wenn ich das richtig sehe steht das dreieck ja erst mal auf einer Kante des Quadrates - einmal kann man es quasi umkippen, bis es auf der anderen Seite liegt.
Da es ein gleichseitiges Dreieck ist kennst Du die innenwinkel und damit weisst Du auch um wieviel Grad Du das Dreieck gedreht hast…
wenn es um die Ecke geht 30° und wenn Du es auf der Kante des Quadrats drehst um 180° - 60° = 120°.
so musst Du halt berechnen um wieviel Grad Du das Dreieck drehst - der radius ist mit den 4cm auch klar.
Du musst nur aufpassen, wie oft sich die Spitze, die Du beobachtest bewegt…
wenn ich mich jetzt im Kopf nicht vertan hab sind es insgeamt 360°, die sich eine beliebige Spitze bewegt - sprich es wäre eine normale Kreisumfangberechnung…
Aber ich habs wie gesagt nur im Kopf durchgespielt…

#3

Wie lange ist der Weg, den die eine Spitze des Dreiecks
zurücklegt ?

Nehmen wir an, das Dreieck befindet sich in der rechten unteren Ecke des Quadrats und es ist Seite auf Seite. Die obere Ecke E soll die betrachtete sein.

  1. Da die Seite des Dreiecks halb so lang ist wie die des Quadrats können wir einmal vollständig nach links abrollen. Die Ecke E beschreibt dadurch einen Kreisbogen mit dem Winkel 120° und ist dann deckungsgleich mit der linken unteren Ecke des Quadrates.

  2. Nun kippen wir das Dreieck auf die linke Innenseite des Quadrates. Dafür ist bei genauer Überlegung nur eine Rotation um 30° notwendig. Drehpunkt ist allerdings die betrachtete Ecke E, d.h. die zurückgelegte Strecke in diesem Schritt ist 0.

  3. Nun kippen wir wieder um 120°. Folge: Dreieck ist im linken oberen Quadrant, Ecke E beschrieb wieder Kreisbogen mit 120° und zeigt deann nach rechts.

  4. Nun folgt wieder eine Drehung um 30°, die Ecke E liegt nun genau auf der Mitte der oberen Innenseite des Quadrates.

  5. Wieder Drehung um 120°, Drehpunkt ist Ecke E, d.h. die zurückgelegte Strecke ist 0. Dreieck ist nun im rechten oberen Quadranten.

  6. 30°-Drehung: Dreieck ist nun auf der oberen Hälfte der rechten Innenseite, Ecke E zeigt nach links.

  7. 120°-Drehung: Ecke E legt wieder Kreisbogen mit 120° zurück und befindet sich nun deckungsgleich mit der rechten unteren Ecke des Quadrats.

  8. Drehung um 30°, Ecke e ist wieder Drehpunkt.

Das Dreieck, lässt man mögliche Unterscheidungskriterien wie z.B. das Betrachten einer ausgezeichneten Ecke weg, ist nun wieder am selben Ort. (Genau genommen bedürfte es jedoch weiterer Durchgänge, bis es wieder so liegt wie zu Beginn.)

Insgesammt legte die Ecke E also einen Kreisbogen mit 420° zurück. Ich denke die Strecke kannst du selbst ausrechnen.

mfG Dirk

#4

Hi,
eine Ecke des Dreiecks legt einen Kreisbogen von 120° um den Mittelpunkt jeder Seite des Quadrats.
D.h. r=4cm Bahnlänge=4*r²*pi*120/360 = 67,02cm

Gruß.Timo

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#5

Hallo Timo

Hi,
eine Ecke des Dreiecks legt einen Kreisbogen von 120° um den
Mittelpunkt jeder Seite des Quadrats.
D.h. r=4cm Bahnlänge=4*r²*pi*120/360 = 67,02cm

Pst, ganz unauffällig: Du berechnest eine falsch angenommene Bahn mit
der Fläckenformel für Kreissektoren.

schönen Gruß
Föhn-x

#6

Hallo Hugo

Alternativ zur zweifellos richtigen Antwort unseres Zauberers aus
Mittelerde könnte die Bedingung auch heissen, dass das Dreieck am
Ende wieder ganz gleich da liegt, wie am Anfang, also jede Ecke da,
wo sie vorher war.

Dann ergibt sich folgende Lösung:

Wir fangen mit einem Dreieck unten rechts an, betrachtet wird der
Dreieckspunkt in der Quadratecke.

  1. Drehung um die untere Seitenmitte um 120°. Unser Punkt zeigt nach
    oben im linken unteren Quadranten.
  2. Drehung um 30° um die linke untere Quadratecke. unser Punkt ist
    jetzt am Mittelpunkt der linken Quadratseite.
  3. Drehung um letztere, unser Punkt rührt sich nicht von der Stelle.
  4. Drehung um das linke obere Quadrateck um 30°, der Punkt zeigt nach
    unten im linken oberen Quadranten.
  5. Drehung um die obere Quadratseitenmitte um 120°, unser Punkt ist
    jetzt im oberen rechten Quadrateck.

Bis jetzt haben wir 2 mal um 120° und 2 mal um 30° = 300° gedreht,
Radius war jedesmal 4 cm. Dabei sind wir eine Quadratecke
weitergekommen. Noch dreimal und der Punkt befindet sich wieder am
Ausgang.
Macht also 4 mal 300° = 1200°.

Die Bahnkurve wäre demnach 2 + 4 * pi * 1200°/360°, macht rund 83,77
cm.

Eine weitere Interpretation der Angabe könnte sein, dass das Dreieck
irgendwie im Quadrat liegt und zu rollen beginnt, also nicht eine
Ecke im Quadrateck. Was dann allgemein herauskommt, weiß ich nicht.
Entweder die selbe Strecke, oder das Rätsel ist so nicht lösbar.

Beste Grüße

Föhn-x

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#7

Pardon, vertippt:

2 * 4 * pi * 1200°/360°

Föhn-x

#8

Hallo Timo

Hi Föhn,

Hi,
eine Ecke des Dreiecks legt einen Kreisbogen von 120° um den
Mittelpunkt jeder Seite des Quadrats.
D.h. r=4cm Bahnlänge=4*r²*pi*120/360 = 67,02cm

Pst, ganz unauffällig: Du berechnest eine falsch angenommene
Bahn mit
der Fläckenformel für Kreissektoren.

Hast recht mit der Flächenformel, aber wo ist denn die Bahn falsch?
Müsste es denn nicht s=4*2*r*pi*120/360 sein?
Gruß.Timo

schönen Gruß
Föhn-x

#9

Hallo Timo

eine Ecke des Dreiecks legt einen Kreisbogen von 120° um den
Mittelpunkt jeder Seite des Quadrats.

Hast recht mit der Flächenformel, aber wo ist denn die Bahn
falsch?
Müsste es denn nicht s=4*2*r*pi*120/360 sein?

müsste, wenn deine bahnannahme möglich wäre. zuerst macht der
eckpunkt wirklich eine drehung um 120° um die quadratseitenmitte.
aber dann ist eine zweite solche drehung nicht mehr drin, es sei denn
zurück.
wenn das dreieck um die nächste seitenmitte drehen sollte, müsste da
jetzt ein eckpunt auf dieser mitte liegen, tut aber keiner.
wenn du dir das einfach mal aufzeichnest, kommst du drauf, das die
nächste rollbewegung um die quadratecke geschehen muss, dafür stehen
dann nur noch 30° zur verfügung. damit kann eine formel, die nur
drehungen um 120° berücksichtigt, nicht die richtige bahn
beschreiben.

schönen gruß
föhn-x

#10

7/6 d Pi
Hi Hugo,

nacheinander von der Ausgangsposition, Dreieck steht links auf Grundlinie, verfolgt wird die obere Spitze:

1. Kippen um 120°, Punkt wandert um 120°
2. Kippen um 30°, Punkt ist Drehpunkt
3. Kippen um 120°, Punkt wandert um 120°
4. Kippen um 30°, Punkt wandert um 30°
5. Kippen um 120°, Punkt wandert um 120°
6. Kippen um 30°, Punkt wandert um 30°
7. Kippen um 120°, Punkt wandert um 120°
8. Kippen um 30°, Punkt ist Drehpunkt

Die Spitze, die oben war, ist jetzt links unten.

Gruß Ralf