auch heute bin ich nicht schlauer geworden beim versuch, mich durch das posting von Martin durchzuarbeiten.
ich sehe mir weiterhin die vids von Presh Talwalker an, wie oben angegeben und das reicht mir dann.
wer leidet mit mir. . . . 
lg
Ralf
evtl gibt es „schlüpfrigere“ Antworten, um die Ähnlichkeiten der beiden Dreiecke zu zeigen. um mehr geht es schließlich nicht.
Hallo Metapher,
danke für die 
:–) Ich möchte noch schnell eine bestimmte Eigenart dieses Problems beleuchten, mit der man zwangsläufig konfrontiert wird, wenn man (wie ich in meinem ersten Posting) versucht, es mit Vektoralgebra zu lösen.
Ich betrachte nur das Rätsel im ersten Video, in dem der rot markierte Winkel „x“ gesucht ist. Den kann man natürlich auch dadurch bestimmen, indem man seinen Kosinus über die Skalarproduktformel
u · v = u v cos(∠u, v)
ausrechnet. Da der Winkel x von den Differenzvektoren b – c und a – d eingeschlossen wird, berechnet man diese und bildet daraus den Quotienten, der gleich cos(x) ist. Das Resultat (eines von vielen möglichen) der Rechnung ist:
cos x = (–c² – 2c + 1)/sqrt(8c³ + 4c² – 4c + 1)
mit der Abkürzung c = cos(80°). Man kann die rechte Seite genausogut auch rein mit sin(80°) ausdrücken, oder rein mit tan(80°) aber ich rechne mit dem obigen Ausdruck weiter.
Laut Lösung ist x = 30° und deshalb wissen wir, welcher Wert auf beiden Seiten der Gleichung steht, nämlich cos(30°) = 1/2 sqrt(3). Das wirft die Frage auf, wie man den Bruch auf der rechten Seite so umformen kann, dass er sich zu 1/2 sqrt(3) vereinfacht. Faktorisierbar ist keines der Polynome; also wie soll man diese Nuss dann knacken?
Zunächst entwurzele ich die Gleichung noch durch Quadrieren; das liefert nach Ausmultiplizierung von (–c² – 2c + 1)²:
cos² x = (4c4 + 8c3 – 4c + 1)/(8c³ + 4c² – 4c + 1)
Der Trick besteht darin, vom Zähler und Nenner je einmal 8c³ – 6c + 1 zu subtrahieren (oder – logisch – irgendeine andere dazu äquivalente algebraische Umformung vorzunehmen). Das darf man, denn 8c³ – 6c + 1 ist Null, weil das Polynom 8x³ – 6x + 1 von cos(80°) annulliert wird.
Dahin führt folgende Überlegung. Die kleinste Zahl, mit der man 80° multiplizieren muss, um auf einen konstruierbaren Winkel zu kommen, ist 3, denn 3 · 80° = 240° und das ist als Vierfaches von 60° konstruierbar. Wenn ein Winkel konstruierbar ist, dann besitzen der Sinus, Kosinus und Tangens dieses Winkels eine Darstellung als „Komposition“ ganzer Zahlen mit den Operationen +, –, ·, / und Quadratwurzel (und nichts außer das!). Im Fall cos(240°) liegen sogar sehr einfache Verhältnisse vor: cos(240°) = –1/2.
Nun gilt aber für den Kosinus eines dreifachen Winkels folgendes:
cos(3φ) = 4 cos³ φ – 3 cos φ
Das kann man leicht mit den Kosinus-Additionstheoremen zeigen.
Für φ = 80° geht diese Gleichung über in
cos(240°) = 4 c³ – 3 c
und weil die linke Seite ja gleich –1/2 ist, ergibt sich daraus
–1/2 = 4 c³ – 3 c
–1= 8 c³ – 6 c
8 c³ – 6 c + 1 = 0
Damit ist die Behauptung der Zulässigkeit de Subtraktionstricks bewiesen.
Nun zurück zur Umformung des Bruchs. Weil sich im Anschluss auch noch 2c wegkürzen lässt, vereinfacht der sich beträchtlich:
cos² x = (2c³ + 1)/(2c + 1)
Nichtsdestotrotz muss man den Subtraktionstrick noch ein zweites mal anwenden, um das c³ im Zählerpolynom plattzumachen. Danach kürzt sich dann 2c + 1 weg und es kommt 3/4 heraus, was zum korrekten Wert des gesuchten Winkels x führt:
cos² x = 3/4
cos x = 1/2 sqrt(3)
x = 30°
Wie oben für cos(3φ) gezeigt kann man auch für tan(3φ) ein solches Polynom ausrechnen mit dem Ergebnis, dass x6 – 33 x4 + 27 x2 – 3 von tan(80°) annulliert wird. Das ist kein Widerspruch zu dem Ergebnis aus meinem ersten Posting, in welchem ich ja stattdessen das Polynom x10 – 43 x8 + 362 x6 – 438 x4 + 165 x2 – 15 von tan(80°) hergeleitet habe. Die Erklärung ist ausnahmsweise sogar mal ganz simpel: Das x10…-Polynom wird ohne Rest vom x6…-Polynom geteilt, wie sich mit einer Polynomdivision verifizieren lässt. Deshalb annulliert tan(80°) beide Polynome.
Gruß
Martin
hallo martin
so in etwa kann ich deinen asuführungen folgen.
nur der gesuchte Winkel x = 20° (und nicht 30°)
nur mit x=20° gibt es die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke. . . .