Hallo eine kurze hoffentlich einfach zu lösende Frage:
Ich habe in einem Koordinatensystem den Punkt A und B gegeben. Des weiteren kenne ich die Distanz zwischen A und C und B und C.
Wie kann ich aus diesem Wissen möglichst leicht Punkt C errechnen?
hi,
Ich habe in einem Koordinatensystem den Punkt A und B gegeben.
Des weiteren kenne ich die Distanz zwischen A und C und B und
C.Wie kann ich aus diesem Wissen möglichst leicht Punkt C
errechnen?
mit dem cosinussatz
m.
Hallo,
Ich habe in einem Koordinatensystem den Punkt A und B gegeben.
Des weiteren kenne ich die Distanz zwischen A und C und B und
C.
Wie kann ich aus diesem Wissen möglichst leicht Punkt C
errechnen?
was meinst Du mit „leicht“ ?
Über die Berechnung mit dem Cosinussatz kommst Du nicht herum da
eben zuerst nur Distanz und Richtung von A-B berechnet werden kann.
Ich gehe davon aus, daß Du dies kannst.
Gruß VIKTOR
Hallo.
Wie kann ich aus diesem Wissen möglichst leicht Punkt C
errechnen?
Alternativ auch als Schnittpunkt der beiden Kreise. Du setzt die Verbindungsvektoren AC und BC als unbekannte Vektoren mit bekannter Norm an.
Liebe Grüße,
The Nameless
Hallo,
oder wie wäre es damit:
Transformiere zuerst das Koordinatensystem per Drehstreckung so, dass die beiden Punkte im neuen System die Koordinaten (–1, 0) und (+1, 0) haben. Die gegebenen Abstände a und b musst Du dabei natürlich auch skalieren. Wie eine kleine Rechnung zeigt, haben die gesuchten Eckpunke der beiden zueinander spiegelbildlichen Dreiecke (mit der x-Achse als Symmetriegerade) im transformierten System die Koordinaten
\left(
\frac{a^2-b^2}{4}, :\pm\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2} - \Big(\frac{a^2-b^2}{4}\Big)^2 - 1}
:\right)
Nachdem Du sie berechnet hast musst Du sie nur noch in das ursprüngliche System rücktransformieren.
Du siehst: Viele Wege führen zum Ziel.
Gruß
Martin
Satz des P
Gegeben: A(ax/ay) B(bx/by) dAC dBC
gesucht: C(cx/cy)
Satz des P:
dAC²=(ax-cx)²+(ay-cy)²
dBC²=(bx-cx)²+(by-cy)²
2Gleichungen mit 2 Unbekannten. Ich würde beide Gleichungen nach zB cy auflösen und dann gleichsetzen.
Durch die Quadrate und später Wurzeln bekommst Du 2 oder 4 Lösungen.
Wenn Du 2 kriegst sind sie richtig(mach trotzdem die Probe). Wenn Du 4 kriegst die Probe machen, 2 sind richtig, 2 sind falsch.
Hallo,
Gegeben: A(ax/ay) B(bx/by) dAC dBC
gesucht: C(cx/cy)
Satz des P:
dAC²=(ax-cx)²+(ay-cy)²
dBC²=(bx-cx)²+(by-cy)²
2Gleichungen mit 2 Unbekannten. Ich würde beide Gleichungen
nach zB cy auflösen und dann gleichsetzen.
dann mach das mal - kannst Du das, einfach ! ?
Der Fragesteller wollte eine leichte (einfache) Lösung.
Du und auch Martin haben dies wohl übersehen.
Durch die Quadrate und später Wurzeln bekommst Du 2 oder 4
Lösungen.
Das macht den Fragesteller richtig glücklich.
Etwas anderes ist es, wenn man solche Aufgaben programmieren will
z.Bsp. für ein Programm zu Auswertung von Mess-Daten im
Vermessungswesen.
Da könnte man über Alternativen zur Umgehung des Cosinussatzes
nachdenken, wenn dies sich formal einfacher gestaltet.
(wenn man explizit die gesuchten Koordinaten errechnen könnte)
Gruß VIKTOR
Hi,
Dir ist schon klar, dass man mit dem Cosinussatz nur Winkel und Seitenlängen ausrechnen kann aber keine Koordinaten eines Punktes, was aber gefragt ist?
Rechne Du mir mal vor wie man mit dem Cosinussatz auf x und y Koordinate des Punktes C kommt.
MFG
Hallo,
Dir ist schon klar, dass man mit dem Cosinussatz nur Winkel
und Seitenlängen ausrechnen kann
ja.
aber keine Koordinaten eines Punktes, was aber gefragt ist?
Wenn man dann die(den)Winkel hat, schon.
Rechne Du mir mal vor wie man mit dem Cosinussatz auf x und y
Koordinate des Punktes C kommt.
Hättest Du da wirklich Schwierigkeiten ?
Deine (richtige) Einlassung läßt dies nicht vermuten.
Aber nun denn - damit kommt man auf die Koordinaten:
1)Distanz A-B ermitteln
2)Richtungswinkel A-B ermitteln.
3) Winkel in A mit Cosinussatz berechnen.
4)Richtungswinkel A-C ermitteln
5)Koordinaten Cx und Cy berechnen (mit A-C, Sinus, Cosinus)
Wars schwer ?
Dies sind zwar 5 Schritte, aber übersichtlich, nachvollziehbar und
für den Fragesteller dadurch „leicht“.
Und nun Du -explizit die Formel für Cx und Cy - mit weniger Aufwand
übersichtlich und eindeutiger Zuordnung.
Gruß VIKTOR
Hi,
wenn ich ehrlich bin, da löse ich lieber gleich meine 2 Gleichungen auf ob das wirklich schwieriger ist lass ich mal dahin gestellt.
MFG
Hallo,
wenn ich ehrlich bin, da löse ich lieber gleich meine 2
Gleichungen auf
es geht ja hier bei der Beantwortung von Fragen nicht um die
Befindlichkeit des Antwortenden sondern um das Verständnis des
Fragestellers.
Warum lieferst Du dann nicht eine explizite Formel wie Cy=…
Weitschweifende Formelentwicklungen waren hier offensichtlich
nicht gefragt.Man sollte sich immer zuerst auf den Fragesteller
einlassen (also auch keine grafischen Lösungsvorschläge wie hier
geschehen)
ob das wirklich schwieriger ist lass ich mal dahin gestellt.
Offensichtlich doch, sonst wäre die Formel von Dir geliefert oder
die komplette (schwierigere ?) Ableitung
Was alle Lösungen natürlich brauchen, ist die visuelle Lage des
Dreieckes da diese Aufgabenstellung ohne Zusatzinformation immer
2 Lösungen bereit hält…
Formeln (egal wie) allein finden dies nicht selbständig heraus.
Gruß VIKTOR
Hallo Viktor,
Der Fragesteller wollte eine leichte (einfache) Lösung.
Du und auch Martin haben dies wohl übersehen.
ich denke eher, Du schätzt die Lösung ohne Kosinussatz als viel komplizierter ein, als sie in Wirklichkeit ist.
Zeichne Dir ein Koordinatensystem und trage die Punkte A und B an den Koordinaten (–l/2, 0) und (+l/2, 0) ein. Außerdem „irgendwo rechts (oder links) oben“ den Punkt P. Dessen gesuchte Koordinaten seien P’x und P’y. Gegeben sind außer A und B die Entfernungen von A zu P und B zu P: a = |A – P| und b = |B – P|.
Wie aus der Skizze hervorgeht, kannst Du für dieses Setup den Satz des Pythagoras so formulieren:
\Big(P_x’ + \frac{l}{2}\Big)^2 + {P_y’}^2 = a^2
\Big(P_x’ - \frac{l}{2}\Big)^2 + {P_y’}^2 = b^2
Das ist ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für P’x und P’y. Dass es – obwohl nichtlinear – ruckzuck gelöst ist, sieht man schnell, weil es unmittelbar ins Auge fällt, wie sich P’y2 eliminieren lässt, nämlich durch Subtraktion beider Gleichungen. Somit liegt es nahe, die Gleichungen einmal voneinander zu subtrahieren und einmal zu addieren. Tut man das, und vereinfacht alles (wenige Zeilen genügen) hat man diese beiden Gleichungen da stehen:
2 l P_x’ = a^2 - b^2
{P_x’}^2 + {P_y’}^2 + \Big(\frac{l}{2}\Big)^2 = \frac{a^2 + b^2}{2}
Die Auflösung nach P’x und P’y geht im Kopf:
P_x’ = \frac{a^2 - b^2}{2 l}
P_y’
= \pm \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2} - \Big(\frac{l}{2}\Big)^2 - {P_x’}^2}
Damit kennst Du die Koordinaten des gesuchten Punktes P in dem Koordinatensystem, dessen x-Achse durch A und B verläuft und dessen Ursprung in der Mitte M = 1/2 (A + B) zwischen A und B liegt. Nun müssen sie nur noch auf die Koordinaten im Originalsystem umgerechnet („transformiert“) werden. Das ist mit einer Drehung um den Steigungswinkel der A-B-Geraden plus der Verschiebung um M erledigt. Das ist aber auch kein Hexenwerk:
P = \left(\begin{array}{cc} c & -s\ s & c \end{array} \right) P’ + M
Darin ist ((c, –s), (s, c)) die Drehmatrix, die auf P’ angewendet wird (man sehe die Punkte als Vektoren an), und das „+ M“ erledigt die anschließende Verschiebung. Mit c und s habe ich den Kosinus bzw. Sinus des A-B-Steigungswinkels abgekürzt. Es ist c = (Bx – Ax)/l und s = (By – Ay)/l. Den A-B-Steigungswinkel selbst braucht man gar nicht berechnen.
Und das wars schon. Als 5-Punkte-Programm sieht die „Ohne-Kosinussatz-Lösung“ so aus:
(1)
\Delta x = B_x - A_x
\quad\textnormal{und}\quad
\Delta y = B_y - A_y
(2)
l = \sqrt{{\Delta x}^2 + {\Delta y}^2}
(3)
P_x’ = \frac{a^2 - b^2}{2l}
P_y’ = \pm\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2} - \Big(\frac{l}{2}\Big)^2 - {P’_x}^2}
(4)
c = \frac{\Delta x}{l}
\quad\textnormal{und}\quad
s = \frac{\Delta y}{l}
(5)
P_x = c P_x’ - s P_y’ +\frac{1}{2}\big(A_x + B_x\big)
P_y = s P_x’ + c P_y’ +\frac{1}{2}\big(A_y + B_y\big)
Falls die Abstände a und b zu klein sind, ist der Radikant der Wurzel in (3) negativ. Dann gibt es keine Lösung.
Zum Vergleich die „Mit-Kosinussatz-Lösung“:
(1)
\Delta x = B_x - A_x
\quad\textnormal{und}\quad
\Delta y = B_y - A_y
(2)
l = \sqrt{{\Delta x}^2 + {\Delta y}^2}
(3)
\alpha = \pm \arccos\left(\frac{l^2 - a^2 + b^2}{2bl}\right)
(4)
\phi = \arctan\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)
(Achtung: Das Δx im Nenner kann Null sein → Sonderbehandlung erforderlich!)
(5)
P_x = A_x + a \cos(\phi + \alpha)
P_y = A_y + a \sin(\phi + \alpha)
Für den Fall, dass es keine Lösung gibt, weil die Abstände a und b zu klein sind, liegt das arccos-Argument nicht im Intervall [–1, +1].
Ich finde beide Varianten gleich einfach und nachvollziehbar (in (1) und (2) sind sie ohnehin identisch). Bemerkenswert an der Ohne-Kosinussatz-Variante ist der Umstand, dass sie ganz ohne trigonometrische Funktion auskommt. Das wäre bei der Ausführung auf einem Prozessor ohne Fließkommaeinheit ein großer Vorteil. Ich vermute, dass die Ohne-Kosinussatz-Lösung auch numerisch stabiler ist, weil die x- und y-Richtung darin gleichwertig auftritt.
Auch die Mit-Kosinussatz-Variante enthält in Punkt (5) übrigens eine Koordinatentransformation: Der Punkt (1, 0) wird zuerst um den Winkel Φ + α gedreht, dann um a gestreckt und schließlich noch um A verschoben.
Gruß
Martin
2 Like
Hallo Martin,
Der Fragesteller wollte eine leichte (einfache) Lösung.
Du und auch Martin haben dies wohl übersehen.ich denke eher, Du schätzt die Lösung ohne Kosinussatz als
viel komplizierter ein, als sie in Wirklichkeit ist.
Du hast hier schön demonstriert, daß dem doch so ist.
Außerdem ist die Lösung mit dem Cosinussatz überschaubarer besser
„geometrisch vorstellbar“. Auch das hast Du schön belegt.
Beide Lösungen sind ohne Zusatzinformationen nicht eindeutig weshalb
sowieso eine grafische Vorlage der Situation benötigt wird.
Für ein Computerprogramm würde ich aber eventuell die Lösung mit dem
Pythagoras vorziehen(von Safrael)-ich hatte dies schon angedeutet -
weil hier Formalismus besser zum tragen kommt da ich z.Bsp. nicht,
wie mit dem Cosinussatz, wählen muß,welchen Winkel ich berechnen
will oder mit welcher gegeben Seite ich die Differenzkoordinaten
berechnen will.
Mir brauchtest Du Deine Lösung nicht vorführen,ich dachte auch
zuerst mal daran.
Aber hier gilt genau das, was ich sagte, was oben steht - und auch,
sich auf den Fragesteller einlassen.
der Ohne-Kosinussatz-Variante ist der Umstand, dass sie ganz
ohne trigonometrische Funktion auskommt. Das wäre bei der
Ausführung auf einem Prozessor ohne Fließkommaeinheit ein
großer Vorteil.
Das meinst Du doch nicht im Ernst. Wer benutzt heute noch einen
solchen Computer.Ich hatte schon vor 25 Jahren einen PC mit
mathematischen Co-Prozessor
Und wenn, wo wäre der „große“ Vorteil ?
Gruß VIKTOR
Hallo Viktor,
ich denke eher, Du schätzt die Lösung ohne Kosinussatz als
viel komplizierter ein, als sie in Wirklichkeit ist.Du hast hier schön demonstriert, daß dem doch so ist.
keine Ahnung, was daran wesentlich komplizierter sein soll.
Außerdem ist die Lösung mit dem Cosinussatz überschaubarer
besser „geometrisch vorstellbar“. Auch das hast Du schön belegt.
Was soll an einem gedrehten und verschobenen Koordinatensystem weniger gut vorstellbar sein? Vielleicht fehlt Dir nur die Erfahrung damit. In den Naturwissenschaften ist es eine Standardmethode, Probleme in „ungünstigen“ Koordinaten zuerst in möglichst vorteilhaften Koordinaten zu lösen, was praktisch immer erheblich leichter ist, und anschließend das Ergebnis in die schiefen Originalkoordinaten zu transformieren.
Beide Lösungen sind ohne Zusatzinformationen nicht eindeutig
weshalb sowieso eine grafische Vorlage der Situation benötigt wird.
Hier ist alles eindeutig. Sofern a und b groß genug sind, gibt es zwei spiegelbildlich zur A-B-Geraden liegende P-Lösungspunkte. Wenn Du Dich nun in Gedanken auf den Punkt A stellst und Dich so drehst, dass der Punkt B geradeaus vor Dir liegt, dann ist der eine P-Punkt links von Dir und der andere rechts von Dir. Jetzt schau Dir die 5-Punkte-Programme nochmal genau an. Jedes enthält genau ein „±“-Zeichen. Wählst Du davon das „+“, dann bekommst Du als Ergebnis den linken P-Punkt, und bei „–“-Wahl den rechten.
Für ein Computerprogramm würde ich aber eventuell die Lösung
mit dem Pythagoras vorziehen(von Safrael)-ich hatte dies schon
angedeutet - weil hier Formalismus besser zum tragen kommt da ich z.Bsp. nicht,
wie mit dem Cosinussatz, wählen muß,welchen Winkel ich berechnen will
oder mit welcher gegeben Seite ich die Differenzkoordinaten berechnen will.
Wiewas? Nixversteh. Auf jeden Fall kannst Du ohne jede Probleme sowohl mit dem Ohne-Kosinussatz-Programm als auch mit dem Mit-Kosinusaatz-Programm gezielt den rechten Punkt ausrechnen, wenn Du den rechten haben willst, und den linken, wenn Du den linken willst. Beide Programme erledigen das genau so wie sie sind richtig und es gibt Null Grund für irgendwelche Skizzen oder Zusatzüberlegungen.
Mir brauchtest Du Deine Lösung nicht vorführen,ich dachte auch
zuerst mal daran.
Ja? Dann dachtest Du sicher auch noch an folgende Lösung – die habe ich nämlich glatt übersehen:
\Delta x = B_x - A_x
\quad\textnormal{und}\quad
\Delta y = B_y - A_y
l = \sqrt{{\Delta x}^2 + {\Delta y}^2}
a’ = a/l
\quad\textnormal{und}\quad
b’ = b/l
c = (a’^2 - b’^2 + 1)/2
s = \pm \sqrt{a’^2 - c^2}
P_x = c \Delta x - s \Delta y + A_x
P_y = s \Delta x + c \Delta y + A_y
Kannst ja versuchen, herauszufinden, wie man darauf kommt.
sich auf den Fragesteller einlassen.
Ja. Der Fragesteller wird’s aber auch überleben, wenn er einige verschiedene Lösungen bekommt. Vielleicht erweitert das sogar seinen Horizont.
Das meinst Du doch nicht im Ernst. Wer benutzt heute noch
einen solchen Computer.Ich hatte schon vor 25 Jahren einen PC mit
mathematischen Co-Prozessor
Und wenn, wo wäre der „große“ Vorteil ?
Geringere Kosten. Ganz allgemein können Algorithmen, die ohne transzendente Funktionen (exp, ln, sin, cos, arctan etc.) auskommen, auch auf weniger leistungsfähigen und deshalb billigeren Prozessoren – insbesondere solche ohne FPU – eingesetzt werden.
Gruß
Martin
Hallo Martin,
ich denke eher, Du schätzt die Lösung ohne Kosinussatz als
viel komplizierter ein, als sie in Wirklichkeit ist.Du hast hier schön demonstriert, daß dem doch so ist.
keine Ahnung, was daran wesentlich komplizierter sein soll.
wetten daß ich bei einer praktischen Berechnung der Aufgabe die
Lösung mit dem Cosinussatz mind.doppelt so schnell erledige Du mit
Deinem gedrehten Koordinatensystem ?
Außerdem ist die Lösung mit dem Cosinussatz überschaubarer
besser „geometrisch vorstellbar“. Auch das hast Du schön belegt.Was soll an einem gedrehten und verschobenen Koordinatensystem
weniger gut vorstellbar sein? Vielleicht fehlt Dir nur die
Erfahrung damit. In den Naturwissenschaften ist es eine
Standardmethode, Probleme in „ungünstigen“ Koordinaten zuerst
in möglichst vorteilhaften Koordinaten zu lösen,
Dazu besteht aber hier kein Handlungsbedarf.
was praktisch immer erheblich leichter ist,
Nein, hier eben nicht.
Beide Lösungen sind ohne Zusatzinformationen nicht eindeutig
weshalb sowieso eine grafische Vorlage der Situation benötigt wird.Hier ist alles eindeutig. Sofern a und b groß genug sind, gibt
es zwei spiegelbildlich zur A-B-Geraden liegende P-Lösungspunkte.
Eben.Zwei.Wie willst Du ohne grafische Vorlage oder sonstige
Zusatzinformation wissen auf welcher Seite der gesuchte Punkt liegt?
Wenn Du Dich nun in Gedanken auf den Punkt A stellst und Dich so :drehst,
Was soll dies jetzt für ein Unfug sein ? Sind wir hier im Kindergarten ?
sich auf den Fragesteller einlassen.
Ja. Der Fragesteller wird’s aber auch überleben, wenn er
einige verschiedene Lösungen bekommt. Vielleicht erweitert das
sogar seinen Horizont.
Dies war,ist hier nicht meine Intention, Horizonterweiterung für den
Fragesteller.
Das meinst Du doch nicht im Ernst. Wer benutzt heute noch
einen solchen Computer.Ich hatte schon vor 25 Jahren einen PC mit
mathematischen Co-Prozessor
Und wenn, wo wäre der „große“ Vorteil ?Geringere Kosten. Ganz allgemein können Algorithmen, die ohne
transzendente Funktionen (exp, ln, sin, cos, arctan etc.)
auskommen, auch auf weniger leistungsfähigen und deshalb
billigeren Prozessoren – insbesondere solche ohne FPU –
eingesetzt werden.
Da ist doch Unfug.Dies machen schon Taschenrechner für EURO 10.-
Außerdem ist es nicht schwer sich diese Funktionen selbst zu
programmieren (innerhalb eines Programms) - für den der es kann.
Gruß VIKTOR