Dreiecksberechnung mittels GPS

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo!

Ich möchte vorab klarstellen, dass ich irgendwann einmal vor über 30 Jahren die nötigen Kenntnisse zumindest für die Dreiecksberechnung erlernt hatte. Aber diese sind wegen Nichtnutzung in der Folgezeit so sehr verschüttet worden, dass ich sie einfach nicht mehr ausgraben kann. Deswegen benötige ich Unterstützung, für die ich mich jetzt schon bedanke.

Aufgabe: Es geht um das Herausfinden einer GPS-Koordinate „C“

  1. Bekannt ist die Koordinate des Eckpunkts „A“ (Scheitelpunkt) eines gleichschenkligen, aber nicht rechtwinkligen Dreiecks. Unabhängig von dem fehlenden rechten Winkel verwende ich der Einfachkeit halber die Begriffe Kathete und Hypotenuse.

  2. Bekannt ist die Koordinate des Eckpunkts „B“. Aus „A“ und „B“ kann die Strecke „ab“ (Kathete) unter Verwendung eines EDV-Tools berechnet werden. Klar ist, dass bei einem gleichschenkligen Dreieck damit die Strecke „ac“ (2. Kathete) ebenfalls bekannt ist.

  3. Bekannt ist ferner die Strecke „bc“ (Hypotenuse).

Fragen:

Mittel welcher Berechnung bekomme ich nun die GPS-Koordinate von Eckpunkt „C“ heraus?

Gibt es evtl. ein GPS-EDV-Tool, welches nachfolgende Funktionsumfang bewältigt:

Eintragen der Koordinaten von „C“. Legen eines Kreises mit dem Radius „r“ (im konkreten Fall gleich „ab“). Eingabe der Koordinaten von „B“. Und dann Ausgabe aller GPS-Koordinaten auf dem Kreis mit der Möglichkeit sie gemäß Formeleingaben einzugrenzen. Ich versuche es mal anders auszudrücken. Eine Art Zeichenprogramm innerhalb einer Karte, auf der einige geometrische Figuren projeziert werden und Auswahlmenü, welche Koordinate man gerne angezeigt bekommen möchte.

Gruß
vdmaster

#2

Hi,

schlage um A einen Kreis mit dem Radius ab=ac.
Schlage um B einen Kreis mit dem Radius bc.

Es entstehen 2 Schnittpunkte, die beide richtig sind.

MFG

Happy Caching

#3

Hallo,

nunja, danke für Deine Hilfe. Diese Methode war mir schon klar. Nur hilft sie nicht ohne das entsprechende Programm oder eine sehr, sehr lange Wäscheleine (ca. 3km) :wink:.

Gruß
vdmaster

#4

Hallo,

habe jetzt noch nicht gerechnet, aber grundsätzlich sollte es ungefähr so gehen:

Angenommen Deine Punkte lägen in der Ebene und hätten da normale x-y-Koordinaten…

Es seien A=(a,a’), B=(b,b’) und C=(c,c’) die Koordinaten in der Ebene. Die Koordinaten von A und B sind bekannt.

Außerdem sind |AC| = |AB| (Schenkel bzw. „Katheten“) und |BC| (Basis bzw. „Hypothenuse“) bekannt.

Es ist |AC| = \sqrt{(c-a)^2+(c’-a’)^2} , bzw.
|AC|^2 = (c-a)^2+(c’-a’)^2 .
Analog ist
|AB|^2 = (c-b)^2+(c’-b’)^2 .

Damit hast Du zwei quadratische Gleichungen. Einsetzen und nutzen der p-q-Formel sollte Dich zum Ziel bringen, wobei ja schon gesagt wurde, dass es zwei Lösungen dieser beiden Gleichungen geben sollte.

Aber die Koordinaten liegen nicht in der Ebene, sondern sind durch geogr. Länge und Breite gegeben. Daher wählst Du Dir Dein Koordinatensystem und legst z.B. A als Punkt (0,0) fest. Mittels Wikipedia kannst Du schnell herausfinden, wie Du Länge und Breite in z.B. den Abstand in Meter in Nord und Ost - Richtung umrechnen kannst. (oder mit einem Programm).
Dann ermittelst Du C in diesem Koordinatensystem und rechnest zurück in Länge und Breite. (siehe auch den Artikel zu Ost-Nord-Oben-Koordinaten).

Beste Grüße
Zwergenbrot

#5

„Zwergenbrot“ hat nicht ganz recht…Du kannst nicht die geografischen Koordinaten in ebene Koordinaten umwandeln, die Dreiecksberechnung ausführen und das Ergebis wieder in geografische Koordinaten umformen. Dabei kommt Unsinn raus.
Du musst die Dreiecksberechnung auf der Kugel ausführen, man nennt dies sphärische Trigonometrie.
Gib Google „Sphärische Trigonometrie“ ein und gehe auf die Seite von Wikipedia,
dort ist alles sehr gut erklärt.

(P.S. Einfügen des Links hat nicht funktioniert)

Gruß Frank

#6

…
ich versuch’s nochmal

http://www.moenk.de/index.php?serendipity[subpage]=d…

Grüße Roland

#7

Naja, das ist immer eine Frage der angestrebten Genauigkeit und der Distanzen und des Geländes.
Bei 1000 Metern wird der Fehler durch das nicht-sphärische Rechnen vielleicht kleiner sein, als die Messungenauigkeit des GPS.

„Sphärisch“ ist ja auch ungenau, da die Erde ja keine Kugel ist. Genauer kann man auf einem genährten Ellipsoiden rechnen (was wie alle Modellbildungen) natürlich auch nicht 100% korrekt ist.

In meinem Rechenansatz ist allerdings der Höhenunterschied nicht berücksichtigt, was wahrscheinlich zu den größten Fehlern führen kann.

Wie genau werden die Ergebnisse denn gebraucht und geht es um einzelne Daten oder einen oft verwendeten Algorithmus?

Beste Grüße
Zwergenbrot

#8

hallo -
hier die klare Antwort auf deine Frage:

Es gibt die Möglichkeit mittels GPS-EDV-Tools diese Berechnungen durchzuführen.

Aber erst einmal der Reihe nach.

Es stimmt natürlich, dass ein geometrisches Dreieck nicht einem sphärischen Dreieck auf einer Kugel entspricht.
Ich denke aber, dass die Abweichungen bei nicht zu großen Entfernungen kaum ins Gewicht fallen, und man sie in der Praxis vernachlässigen kann?

Deshalb hier eine praktische Vorgehensweise wie du die Koordinaten von Punkt _ „C“ _ bekommst.
Hierzu gab es ja bisher noch keine konkrete Lösung.

Beispiel:

Gegeben ist vom Dreieck:
Eckpunkt _ „A“ _ = N 51° 00,000´ E 07° 30,000´
Eckpunkt _ „B“ _ = N 50° 00,000´ E 08° 00,000´
(Strecke _ „ab“ _) = 116,689 km - nicht notwendig, lässt sich berechnen, siehe weiter unten
(Strecke _ „ac“ _) = 116,689 km - gleicher Schenkel wie Strecke „ab“
Strecke _ „bc“ _ = 71,474 km - frei gewählt

Aus den drei gegebenen Dreieckseiten lassen sich natürlich einfach die drei zugehörigen Winkel berechnen, bzw. über das Online-Tool ermitteln http://www.mathepower.com/dreieck.phpBerechnet:
Winkel _ „alpha“ _ = 35,67° (Winkel in Eckpunkt „A“)

Alle folgende Berechnungen lassen sich online mit der Koordinatenabstandsrechnung und der Wegpunktprojektion von zwanziger.de ausführen.

Aus der Koordinatenabstandsrechnung mittels dem Online-Tool:
http://www.zwanziger.de/gc_tools_coorddist.htmlergibt sich nach Koordinateneingabe für die Eckpunkte _ „A“ _ (Startpunkt) und _ „B“ _ (Zielpunkt) folgende Werte:
Strecke _ „ab“ _ = 116,682 km
Navigationswinkel _ „ab“ _ = 162,16°

Zu diesem Winkel von 162,16° wird der berechnete Dreieckswinkel
_ „alpha“ _ = 35,67° addiert, das ergibt den
Navigationswinkel _ „ac“ _ = 197,83° zu der Dreieckspunktkoordinate _ „C“ _.

Mit der Berechnung über die Wegpunktprojektion (Umkehrung der Koordinatenabstandsrechnung)
kann man mit Hilfe des Online-Tools http://www.zwanziger.de/gc_tools_projwp.htmldem Navigationswinkel _ „ac“ _, und den GPS-Koordinaten von Punkt _ „A“ _ und der Strecke _ „ac“, _ die GPS-Koordinaten für Punkt _ „C“ _ ermitteln.

Ergebnis
Eckpunkt _ „C“ _ = N 49° 59,998´ E 07° 00,010´

Dieses Beispiel läßt sich praktisch auch sehr schön in Garmin MapSource nachvollziehen!

Natürlich gibt es wie schon erwähnt, zwei Möglichkeiten die Strecke _ „bc“ _ an Punkt _ „B“ _ anzutragen, nämlich in Westrichtung (mein Beispiel – die East-Koordinate ist für _ „C“ _ kleiner als in _ „B“ _) oder in Ostrichtung (East-Koordinate ist für _ „C“ _ größer als in _ „B“ _).

Eine andere Möglichkeit für diese Berechnungen ermöglicht das Excel GC-Tool von Vater und Sohn
http://www.hentsch.de/gc/excel.htm

noch Fragen?

#9

Hallo Roland,

auf den Download von „moenk“ war ich witzigerweise mittlerweile auch schon gekommen. Dumm nur, dass ich mich mit Excel nicht ausreichend auskenne. Einige Felder konnte ich nicht variieren. Aber Danke für Deine Mühe. Das Problem ist mittlerweile gelöst.

Gruß
vdmaster

#10

Danksagung
Hallo,

vielen Dank für die umfassende uns ausführliche Hilfe. Da ich selbst nicht völlig untätig in Sachen Problemlösung war, habe ich teilweise eure offerierten Links bereits gefunden. Andere offerierte Links werden zukünftig sicher sehr hilfreich sein.

Zufällig ist mir, da ich hier auch Geocacher im Brett vermute sei es erwähnt, dieses nützliche Kartentool in die Finger geraten: http://koemski.tipido.net/gc/gcdraw.html
Google Earth Pro ist mir nämlich zu kostenpflichtig und eine Android-App kann ich mangels Smartphone noch nicht verwenden.

Auf der Karte kann man sich u.a. Annäherungskreise mit variablem Radien um Koordinaten anzeigen lassen. Die maximal Anzahl verschiedener Kreise kenne ich aber nicht.

Gruß
vdmaster

#11

Hallo, vdmaster,
Programme, die diese Sachen beherrschen, sind in aller Regel nicht billig. Bei GARMIN gab es das Programm MapSource (heute heißt es Basecamp), damit kommt man in die geforderten Lösungen. Einfacher geht es mit dem kostenlosen Programm TIM-online (leider aber nur für NRW ), dort kann man Strecken vermessen, Flächen berechnen, Kreise zeichnen, Koordinaten ablesen und vieles, vieles mehr, wenn man alles richtig eingestellt hat. Man muß sich halt ein wenig mit der Materie befassen und Zeit investieren…!!! Das lohnt sich in jedem Fall.

mfG   Hans

#12

Hallo Hans,

ich habe mir das TIM-online mal angesehen. Ist eine schöne Sache. Klappt auch gut mit den geometrischen Features. Leider wohne ich in BaWü :frowning:.

Gruß
vdmaster

#13

Ist das für einen Geocache?
Welcher ist es denn GCnnnnn?

Gruß JK

#14

Hallo,

GC2NFN8 „Anti Cacher Forces ausgetriXt“

Gruß
vdmaster