Druck im Erdmittelpunkt

[VIKTOR_029fb4]

Hallo,
ausgehend von folgenden Gegebenheiten:
1)
Die Gravitation nimmt zur Erdmittelpunkt hin ab.
2)
Die Abnahme ist nicht linear.So liegt das Maximum der
Gravitationsbeschleunigung etwa bei einem Erdradius von 5200km
mit einem Betrag von ca 10,85m/s^2 (Erdoberfläche ca 9,2) und
bei einem Erdradius von ca 1700km immerhin noch etwa der Hälfte
wie auf der Erdoberfläche.(Erdradius ca 6370km)
3)
die Konsistenz der Erdkugel ist nahezu flüssig.

ist meine Frage:
Wie ist der Druck im Erdzentrum (auf dem letzten Zentimeter) zu
ermitteln ?
Ich würde ja Massepunkte mal Beschleunigung auf dem Erdradius
aufsummieren, was natürlich auch die unterschiedliche Dichte
der „Erdschalen“ berücksichtigen würde.
Plötzlich bin ich mir aber nicht mehr so sicher.
Gruß VIKTOR

[Ingo_von_Borstel]

Moin,

Die Gravitation nimmt zur Erdmittelpunkt hin ab.
2)
Die Abnahme ist nicht linear.So liegt das Maximum der
Gravitationsbeschleunigung etwa bei einem Erdradius von 5200km
mit einem Betrag von ca 10,85m/s^2 (Erdoberfläche ca 9,2) und
bei einem Erdradius von ca 1700km immerhin noch etwa der
Hälfte
wie auf der Erdoberfläche.(Erdradius ca 6370km)

Das ist zur Berechnung des Druckes allgemein nicht wichtig - nur wenn Du eine konkrete Zahl herausbekommen willst, brauchst Du kenntnis von ρ® bzw. g®.

die Konsistenz der Erdkugel ist nahezu flüssig.

Letzteres ergibt führt zum Postulat des hydrostatischen Gleichgewichts.

Ich würde ja Massepunkte mal Beschleunigung auf dem Erdradius
aufsummieren, was natürlich auch die unterschiedliche Dichte
der „Erdschalen“ berücksichtigen würde.

Vom Prinzip ja.

g® = GM® / r² bzw. Du setzt Kenntnis dieser Funktion voraus. Wunderbar. Dann mußt Du noch die radiusabhängige Dichte der Erde kennen. Anschließend mußt Du nur die folgende Differentialgleichung
dp/dr = -ρ® g® mit der Randbedingung ρ(r=R=6730km) = 0 lösen.

Allgemein gilt dann p_c = ∫⁰_R [ρ® dp/dr] dr

Nimmt man eine homogene Kugel an (sprich Dichte ist überall gleich), so hat die DGL die Lösung p_Zentral = 1/2 * ρ_mean * GM/R mit dem Erdradius R und der durchschnittlichen Dichte ρ_mean

Gruß,
Ingo

[VIKTOR_029fb4]

Hallo,

Die Gravitation nimmt zur Erdmittelpunkt hin ab.
2)
Die Abnahme ist nicht linear.So liegt das Maximum der
Gravitationsbeschleunigung etwa bei einem Erdradius von 5200km
mit einem Betrag von ca 10,85m/s^2 (Erdoberfläche ca 9,2) und
bei einem Erdradius von ca 1700km immerhin noch etwa der
Hälfte
wie auf der Erdoberfläche.(Erdradius ca 6370km)

Das ist zur Berechnung des Druckes allgemein nicht wichtig -
nur wenn Du eine konkrete Zahl herausbekommen willst, brauchst
Du kenntnis von ρ® bzw. g®.

die Konsistenz der Erdkugel ist nahezu flüssig.

Ich würde ja Massepunkte mal Beschleunigung auf dem Erdradius
aufsummieren, was natürlich auch die unterschiedliche Dichte
der „Erdschalen“ berücksichtigen würde.

Vom Prinzip ja.

g® = GM® / r² bzw. Du setzt
Kenntnis dieser Funktion voraus. Wunderbar. Dann mußt Du noch
die radiusabhängige Dichte der Erde kennen.

Wenn das so einfach wäre. Ich glaube eine geschlossenen Lösung ist
auch dann schwierig, wenn der Verlauf der Dichte mit dem
Radius der Erde einfach zu beschreiben wäre - z.Bsp. dr0=1 und dr1=0,
das heißt, das die Dichte linear von der Oberfläche von 0 zum
Mittelpunkt auf 1 linear zunimmt.(Einheitskugel mit r=1)
Wie sollte g®beschrieben werden ?
(Vielleicht komm ich noch drauf)

Anschließend mußt
Du nur die folgende Differentialgleichung
dp/dr = -ρ® g® mit der Randbedingung
ρ(r=R=6730km) = 0 lösen.
Allgemein gilt dann p_c =
∫⁰_R
[ρ® dp/dr] dr
Nimmt man eine homogene Kugel an (sprich Dichte ist überall
gleich), so hat die DGL die Lösung
p_Zentral = 1/2 *
ρ_mean * GM/R mit dem Erdradius R
und der durchschnittlichen Dichte
ρ_mean

So sehe ich das auch.Da aber überhaupt kein math.beschreibbarer
Verlauf der Dichte vorliegt bleibt wohl in der Regel nur die
punktweise Aufsummierung der Kräfte.
Meine Angaben von g®,Punkt 2),beruhen auf einer Berechnung mit einem
(selbst gebastelten)Computerprogramm unter Berücksichtigung von
idealisierten 5 Schichten des Erdaufbaues die ich Literaturangaben
entnommen habe.
Gruß VIKTOR.

[Ingo_von_Borstel]

Moin,

Ich würde ja Massepunkte mal Beschleunigung auf dem Erdradius
aufsummieren, was natürlich auch die unterschiedliche Dichte
der „Erdschalen“ berücksichtigen würde.

Vom Prinzip ja.

g® = GM® / r² bzw. Du setzt
Kenntnis dieser Funktion voraus. Wunderbar. Dann mußt Du noch
die radiusabhängige Dichte der Erde kennen.

Wenn das so einfach wäre. Ich glaube eine geschlossenen Lösung
ist
auch dann schwierig, wenn der Verlauf der Dichte mit dem
Radius der Erde einfach zu beschreiben wäre - z.Bsp. dr0=1 und
dr1=0,
das heißt, das die Dichte linear von der Oberfläche von 0 zum
Mittelpunkt auf 1 linear zunimmt.(Einheitskugel mit r=1)
Wie sollte g®beschrieben werden ?

Die Dichte im Erdinneren ist eine der wenigen Größen, die man überhaupt, so auch nur indirekt via der seismischen Geschwindigkeiten tatsächlich messen kann. Angreifende Kräfte bzw. die Gravitationsbeschleunigung als Funktion des Radius ist hingegen nicht meßbar und ergeben sich erst aus der Integration der Dichte vom Erdmittelpunkt aus.

So gut wie jeder Verlauf läßt sich auch mathematisch ausdrücken, weil physikalische Formeln so gut wie immer „schön“ sind und sowas wie die Dirichlet-Funktion in der Natur quasi nicht vorkommen - notfalls integriert man stückweise, wenn die Dichte Sprungstellen aufweist. Das ist aber keine Schande

Eine allgemeine, geschlossene Lösung kann man allerdings kaum hoffen zu finden. Wenn man sich auf das stückweise Ausrechnen der Funktion bzw. des Integrals jedoch verlegt und ggf. darin die Dichte und die Gravitationsbeschleunigung als linear oder reziprok vom Radius abhängig betrachtet, kann man evtl schon ein ganzes Stück weiterkommen.

(Vielleicht komm ich noch drauf)

Anschließend mußt
Du nur die folgende Differentialgleichung
dp/dr = -ρ® g® mit der Randbedingung
ρ(r=R=6370km) = 0 lösen.
Allgemein gilt dann p_c =
∫⁰_R
[ρ® dp/dr] dr
Nimmt man eine homogene Kugel an (sprich Dichte ist überall
gleich), so hat die DGL die Lösung
p_Zentral = 1/2 *
ρ_mean * GM/R mit dem Erdradius R
und der durchschnittlichen Dichte
ρ_mean

So sehe ich das auch.Da aber überhaupt kein
math.beschreibbarer
Verlauf der Dichte vorliegt bleibt wohl in der Regel nur die
punktweise Aufsummierung der Kräfte.

Wenn Du die einzelnen Schichten mit 'nem konstanten Dichte- und ggf. konstanten oder reziprok zu r verhaltenden Gravitationsbeschleunigung betrachtest, bekommt man schon ein brauchbares Modell IMO. Es geht aber ziemlich sicher nicht an einem Stück, sondern nur abschnittsweise.

Gruß,
Ingo

[Roland_Tille]

Hallo,

ich trage nichts Neues bei, aber

/t/im-innern-der-erde/4238155

Grüße Roland

[VIKTOR_029fb4]

Hallo Ingo,

Eine allgemeine, geschlossene Lösung kann man allerdings kaum
hoffen zu finden. Wenn man sich auf das stückweise Ausrechnen
der Funktion bzw. des Integrals jedoch verlegt und ggf. darin
die Dichte und die Gravitationsbeschleunigung als linear oder
reziprok vom Radius abhängig betrachtet, kann man evtl schon
ein ganzes Stück weiterkommen.

diese Annahme wäre ein Fehler erster Ordnung.
Die Gravitationsbeschleunigung ist bei r=1700km noch 0,5*g
statt 1700/6370=0,27*g (siehe Punkt 2 meines Fragebeitrages)
Das kommt von der fast vierfachen Dichte im Erdzentrum im Vergleich
zu der oberflächennahen Schicht.

Es geht aber ziemlich sicher nicht an
einem Stück, sondern nur abschnittsweise.

So ist es , wenn man denn die annähernd richtigen Parameter hat.
Ein „Integral“ bei der Berechnung innerhalb einer Schicht einzubrigen
täuscht nur Genauigkeit vor, welche nicht zu erreichen ist.
Eine feinere Teilung der Schichten ist dann doch ergiebiger.
Ein Computerprogamm macht mir es so fein wie ich will.
Gruß VIKTOR

[VIKTOR_029fb4]

Hallo Roland,

ich trage nichts Neues bei, aber
/t/im-innern-der-erde/4238155

nur wenn die Erde ein fester Körper wäre aus Materialien mit einer
entsprechenden Druckfestigkeit könnte man sich einen verminderten
radialen Druck im Erdinneren (oder durchgehend) vorstellen.
Was Du da Dir vorstellst geht an der physikalischen Realität vorbei.
Gruß VIKTOR

[DrStupid]

Wie sollte g®beschrieben werden ?

Wenn man annimmt, dass g bis zur Kern-Mantel-Grenze konstant bleibt und dann bis zum Mittelpuhnkt linear abfällt, dann ist das schon eine brauchbare Näherung. Eine deutlich bessere Näherung sollte

g® = (r·3,7486·10^-6 - r²·2,0665·10^-13/m)/s²

für r-6 - r²·1,8197·10^-13/m + r³·2,0924·10^-19/m² - r⁴·1,8766·10^-26/m³)/s²

für r>3530 km

sein.

[VIKTOR_029fb4]

Hallo

Wie sollte g®beschrieben werden ?

Eine deutlich bessere
Näherung sollte
g® = (r·3,7486·10^-6 -
r²·2,0665·10^-13/m)/s²
für r

[Ingo_von_Borstel]

Moin,

Dies würde einer mittleren Dichte in diesem Bereich von
ca 13t/m^3 entsprechen. Ist dies dort anzunehmen ?
V.

Annähernd ja: http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&…

Suchbegriffe: earth density profile

Gruß,
Ingo