Moin,
Ich würde ja Massepunkte mal Beschleunigung auf dem Erdradius
aufsummieren, was natürlich auch die unterschiedliche Dichte
der „Erdschalen“ berücksichtigen würde.
Vom Prinzip ja.
g® = GM® / r2 bzw. Du setzt
Kenntnis dieser Funktion voraus. Wunderbar. Dann mußt Du noch
die radiusabhängige Dichte der Erde kennen.
Wenn das so einfach wäre. Ich glaube eine geschlossenen Lösung
ist
auch dann schwierig, wenn der Verlauf der Dichte mit dem
Radius der Erde einfach zu beschreiben wäre - z.Bsp. dr0=1 und
dr1=0,
das heißt, das die Dichte linear von der Oberfläche von 0 zum
Mittelpunkt auf 1 linear zunimmt.(Einheitskugel mit r=1)
Wie sollte g®beschrieben werden ?
Die Dichte im Erdinneren ist eine der wenigen Größen, die man überhaupt, so auch nur indirekt via der seismischen Geschwindigkeiten tatsächlich messen kann. Angreifende Kräfte bzw. die Gravitationsbeschleunigung als Funktion des Radius ist hingegen nicht meßbar und ergeben sich erst aus der Integration der Dichte vom Erdmittelpunkt aus.
So gut wie jeder Verlauf läßt sich auch mathematisch ausdrücken, weil physikalische Formeln so gut wie immer „schön“ sind
und sowas wie die Dirichlet-Funktion in der Natur quasi nicht vorkommen - notfalls integriert man stückweise, wenn die Dichte Sprungstellen aufweist. Das ist aber keine Schande 
Eine allgemeine, geschlossene Lösung kann man allerdings kaum hoffen zu finden. Wenn man sich auf das stückweise Ausrechnen der Funktion bzw. des Integrals jedoch verlegt und ggf. darin die Dichte und die Gravitationsbeschleunigung als linear oder reziprok vom Radius abhängig betrachtet, kann man evtl schon ein ganzes Stück weiterkommen.
(Vielleicht komm ich noch drauf)
Anschließend mußt
Du nur die folgende Differentialgleichung
dp/dr = -ρ® g® mit der Randbedingung
ρ(r=R=6370km) = 0 lösen.
Allgemein gilt dann pc =
∫0R
[ρ® dp/dr] dr
Nimmt man eine homogene Kugel an (sprich Dichte ist überall
gleich), so hat die DGL die Lösung
pZentral = 1/2 *
ρmean * GM/R mit dem Erdradius R
und der durchschnittlichen Dichte
ρmean
So sehe ich das auch.Da aber überhaupt kein
math.beschreibbarer
Verlauf der Dichte vorliegt bleibt wohl in der Regel nur die
punktweise Aufsummierung der Kräfte.
Wenn Du die einzelnen Schichten mit 'nem konstanten Dichte- und ggf. konstanten oder reziprok zu r verhaltenden Gravitationsbeschleunigung betrachtest, bekommt man schon ein brauchbares Modell IMO. Es geht aber ziemlich sicher nicht an einem Stück, sondern nur abschnittsweise.
Gruß,
Ingo