Dünnste Kugelpackung

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich habe gerade in einem Buch über Heinrich Heesch von seinem (bisher weder bewiesenen noch widerlegten) Vorschlag für die dünnste unendliche Kugelpackung (also das Gegenteil der dichtesten Packung) gelesen. (Bild)

Im Buch sind als Kriterien vorgegeben:

  • jede Kugel ist mit jeder anderen direkt oder durch eine Kette anderer Kugeln verbunden
  • für jedes Paar Kugeln gibt es eine euklidische Bewegung, die die eine in die andere Kugel überführt, sodass die gesamte Packung mit sich zur Deckung kommt.

Nun drängt sich mir die Frage auf: Wieso ist die dünnste Packung nicht einfach eine unendliche, gerade Kette von Kugeln? Es hat bestimmt etwas damit zu tun, dass sie sich gar nicht richtig in den dreidimensionalen Raum erstreckt, aber wie will man denn das formell begründen?

Gruß,
Kronf

#2

Hallo,

Heinrich Heesch war Mathematiker und beschäftigte sich u.a. mit dem Problem der Parkettierung (siehe dort).

Nun kann man als Mathematiker natürlich verschiedene Kriterien für ein Gebilde, hier die „dünnste“ Kugelpackung vorgeben.
Du nennst die Kriterien des Herrn Heinrich Heesch dafür:

Im Buch sind als Kriterien vorgegeben:

  • jede Kugel ist mit jeder anderen direkt oder durch eine
    Kette anderer Kugeln verbunden
  • für jedes Paar Kugeln gibt es eine euklidische Bewegung, die
    die eine in die andere Kugel überführt, sodass die gesamte
    Packung mit sich zur Deckung kommt.

Um nicht „euklidisch“ durchzudrehen, gehst du pragmatisch vor, was ich auch machen würde:

Nun drängt sich mir die Frage auf: Wieso ist die dünnste
Packung nicht einfach eine unendliche, gerade Kette von
Kugeln? Es hat bestimmt etwas damit zu tun, dass sie sich gar

Das was du vorschlägst findet sich etwa in dem Büchlein von Hans Rumpf „Mechanische Verfahrenstechnik“, Carl Hanser Verlag München (1975). Neben der von dir vorgeschlagenen Kette von Kugeln liegt eine weitere links und eine weiter Kette rechts von der ursprüglichen Kette.
Die beiden neu hinzugekommenen Ketten liegen nicht jeweils im „Tal“ der ersten Kette - was möglich wäre - sondern sind weitestmöglich voneinander entfernt, sozusagen „Berg auf Berg“.
In der Tabelle 7 des Büchleins sind verschiedene Anordnungen gleich großer Kugeln aufgeführt.
Die Bezeichnung für die „dünnste“ Kugelpackung (Rumpf nenn sie nicht so) wäre nach Tabelle 7: „kubisch primitiv“,
die Anzahl der Berührungspunkte einer Kugel zur Nachbarkugel ist hier Koordinationszahl k genannt und wäre k = 6.
Im Raum müßte man diese „gespannte“ Situation ebenfalls aufrecht erhalten um die „dünnste“ Kugelpackung zu stabilisieren.
Ihr Hohlraumanteil Epsilon nach Tabelle 7 wäre Epsilon = 0,477.

Gruß

watergolf

#3

Hallo watergolf, danke für deine Antwort.

Heinrich Heesch war Mathematiker und beschäftigte sich u.a.
mit dem Problem der Parkettierung (siehe dort).

Ja, eigentlich habe ich mir das Buch auch wegen der Parkettierung ausgeliehen.

Um nicht „euklidisch“ durchzudrehen, gehst du pragmatisch vor,

Nun, mein Vorschlag entspricht ja durchaus diesem Kriterium, oder? Durch simple Verschiebung kann die Kugelkette stets mit sich zur Deckung gebracht werden.

Neben der von dir vorgeschlagenen Kette von
Kugeln liegt eine weitere links und eine weiter Kette rechts
von der ursprüglichen Kette.

Wieso das? Dies widerspricht doch sowohl dem Streben nach geringer Dichte als auch dem ersten Kriterium (Verbindung aller Kugeln)?

wäre nach Tabelle 7: „kubisch primitiv“,
die Anzahl der Berührungspunkte einer Kugel zur Nachbarkugel
ist hier Koordinationszahl k genannt und wäre k = 6.
Im Raum müßte man diese „gespannte“ Situation ebenfalls
aufrecht erhalten um die „dünnste“ Kugelpackung zu
stabilisieren.
Ihr Hohlraumanteil Epsilon nach Tabelle 7 wäre Epsilon =
0,477.

Entschuldige, hier komme ich nicht mehr mit. So gut stehe ich nicht im Stoff :wink:

Gruß,
Kronf

#4

Hallo Kronf,

in deinem UP hast du geschrieben:

„Nun drängt sich mir die Frage auf: Wieso ist die dünnste Packung nicht einfach eine unendliche, gerade Kette von Kugeln?“
Mir hat sich nach dem Lesen deines UP die Frage aufgedrängt: Wie kommt er von einer „unendlich, geraden Kette von Kugeln“ denn überhaupt auf eine „Packung“?

Nun, mein Vorschlag entspricht ja durchaus diesem Kriterium,
oder? Durch simple Verschiebung kann die Kugelkette stets mit
sich zur Deckung gebracht werden.

Wie du das meinst verstehe ich nicht, da für mich nicht ersichtlich ist, wie du dir das Entstehen einer „Packung“ vorstellst.

Um eine Packung überhaupt in die Diskussion zu bringen erwähnte ich die Literaturstelle von Hans Rumpf, in der man natürlich das entsprechende Kapitel lesen sollte.
Für die „Mechanische Verfahrenstechnik“ des Hans Rumpf ist die dichteste Kugelpackung von größtem Interesse.
Die Kugelpackung, mit einem Hohlraumanteil von = 0,477, wäre für Rumpf die „dünnste“ Packung.
Heinrich Heesch hat da ein noch viel komplizierteres Gebilde mit noch viel dünnerer Packung erdacht, für das ich keine praktische Anwendung kenne.

Viele Grüße

watergolf