Durchbiegung am Balken

Wissenschaft Physik
#1

Hallo, mir schwirrt seit längerem eine Augabe im Kopf herum wo ich nicht genau weis, wie anpacken.

Es geht um einen 3m langen Balken, der an beiden Enden gelagert ist.
Nun greifen 3 senkrechte Kräfte an, 2 kräfte nach unten, jeweils 1 m von den lagern entfernt, und in der mitte eine senkrechte kraft nach oben.
Nun soll man die durchbiegung an den einzelnen kräften berechnen.
Die kräfte sind gegeben.

Nun berechne ich ja als erstes die Reaktionskräfte der Lager.

Hab ich diese, ist nun die frage, muss ich jeweils einen schnitt ansetzen, vor der ersten senkrechten kraft nach unten, als nächsten mit der ersten kraft, und vor der 2ten kraft(senkrecht nach oben) oder wie muss ich das machen? dann würde es sich ja integrieren lassen um das widerstandsmoment / durchbiegung zu brechnen, jeweils mit den abständen eingesetzt.
oder bin ich total auf dem falschen weg?!

meist gibt es ja „fertige“ formel für gewisse fälle, aber in diesem fall hab ich keine gefunden.

danke schon im vorraus :smile:
gruß

#2

Hallo,

Das ist ein bißchen komplizierter.

http://www.pic-upload.de/view-3052375/Save0061.jpg.html

Gruß:
Manni

#3

Hallo.

Es geht um einen 3m langen Balken, der an beiden Enden
gelagert ist.
Nun greifen 3 senkrechte Kräfte an, 2 kräfte nach unten,
jeweils 1 m von den lagern entfernt, und in der mitte eine
senkrechte kraft nach oben.
Nun soll man die durchbiegung an den einzelnen kräften
berechnen.
Die kräfte sind gegeben.
meist gibt es ja „fertige“ formel für gewisse fälle, aber in
diesem fall hab ich keine gefunden.

ja, ja, die fertigen Formeln.
Hier ist es am einfachsten, für jede einzelne Kraft jeweils die
Durchbiegungen in den drei bezeichneten Punkten zu ermitteln und zu
addieren.(Vorzeichen beachten)
Für diese „einfachen“ Fälle gibt es tatsächlich fertige Formeln
(Integral über die gleiche Länge für das „Produkt“ aus 2 Dreiecken)
wenn man ansonsten die Durchbiegungsberechnungen beherrscht.
Übrigens:
Das Widerstandsmoment (wie Du angeführt hast) spielt hier keine Rolle
sondern das Trägheitsmoment - konstant über die ganze Balkenlänge -
weil sonst die „einfachen“(besser expliziten) Formeln nicht greifen.
Außerdem ist natürlich die Materialkonstante (Elastizitätsmudul)
mit in die Berechnung einzubeziehen (beides nur einmal am Schluß der
Berechnung)
Solche Formeln sind z.Bsp. in den Bautabellen von Schneider zu finden
oder sonstigen Tabellenbüchern für das Bauwesen oder die Baustatik.
Gruß VIKTOR

#4

Hallo,

auch wenn das Problem im ersten Moment vllt. trivial klingt, ist die Durchbiegung eines Balkens eine recht komplizierte Angelegenheit.

Du musst dazu eine Differentialgleichung 4. Ordnung lösen.

Mit E als so genanntes Elastizitätsmodul des Balkenmaterials, I(x) als Flächenträgheitsmoment, L als Länge des Balkens und q(x) als Gewicht pro Längeneinheit, ergibt sich die Durchbiegung w(x)

E \cdot I(x)\cdot w’’’’(x)=q(x) \quad x \in \left(- \frac L2 , \frac L2 \right )

Falls Du solchen Dingen gewachsen bist, kann ich Dir gern mehr Infos geben.

Gruß,
David

#5

Das mit der DGL 4 Ordnung ist klar, damit kenn ich mich aus.
Das integrieren derselben ist auch kein problem normalerweise. nur eben mit den grenzen, ± l/2 komm ich jetzt nicht ganz mit?

#6

ja so dachte ich mir das auch, für jede einzelne kraft die durchbiegung und diese dann addieren. die"ferigen formeln" für diese einfachen fälle sind mir bekannt. gibts es ja extra so fertige für den kragarm.

allerdings stell ich mri die frage, von wo ich da ansetzen muss.
die erste kraft von links her ist klar
aber die mittlere kraft? auf was bezieht diese sich, auf die absenkung der linken kraft?

#7

Hallo

ja so dachte ich mir das auch, für jede einzelne kraft die
durchbiegung und diese dann addieren. die"ferigen formeln" für
diese einfachen fälle sind mir bekannt. gibts es ja extra so
fertige für den kragarm.

Du hast aber keine Kragarm sondern eine Balken auf zwei Stützen.
Oder habe ich Dich da falsch verstanden ?
Du brauchst ja die Durchbiegung in jeweils 3 Punkten für jede
der drei Kräfte.

allerdings stell ich mri die frage, von wo ich da ansetzen
muss.

Wie ich in meinem ersten Beitrag schon erwähnte, sollte Kenntnis
über Durchbiegungsberechnungen an jedem Punkt eines Balkens auf
zwei Stützen, hier aus einer Einzellast an beliebiger Stelle,
grundsätzlich bekannt sein.
Die von mir erwähnten expliziten Formeln erleichtern nur den
Berechnungsgang.(Produkt-Integral)

die erste kraft von links her ist klar
aber die mittlere kraft? auf was bezieht diese sich, auf die
absenkung der linken kraft?

Wenn die erste Kraft „klar“ ist (obwohl ich hier nicht weiß was Du meinst) sind auch die anderen klar.
Keine Kraft bezieht sich auf eine andere, jede „steht“ für sich.

Berechnungsprinzip (Rezept !)hier für Einzellasten.
1)
Ermittlung des max. Biegemomentes aus der Einzellast.
Momentenfläche ist ein Dreieck.
2)
Ermittlung des max. Biegemomentes aus der Last N=1 an dem
Punkt der gesuchten Durchbiegung.
Momentenfläche ist ein Dreieck.
3)
Ermittlung des Integrals aus dem „Produkt“ beider Dreiecke also
der Fläche, welche sich ergeben würde wenn man die Ordinaten
der Biegemomente der Dreiecke an jedem Punkt des Balkens miteinander
multipliziert.
Für unterschiedliche Momentenbilder (Rechtecke, Trapeze, Parabeln)
hier aber zwei Dreiecke gibt es die von mir erwähnten fertigen
Formeln der „Auswertung“ der Integrale.
4)
Diese Integrale geteilt durch E (Elastizitätsmodul) und I
(Trägheitsmoment) ergeben die Durchbiegung.
Dies ist eine Methode zu „Regelberechnung“ von Durchbiegungen.
Die „Dimensionenen“ müssen aufeinander abgestimmt sein also nicht
m mit cm^4 mixen oder KN mit N.

Wenn der Verlauf der Biegemomente und oder des Trägheitsmomentes
über den Balkenabschnitt über 2 Stützen unregelmäßig ist dann
bleibt oft kein anderer Weg als schrittweise das Integral aus
dx*Mi*M1/E/I durch Aufsummierung zu ermitteln.(Genauigkeit angenähert)
Hier muß dann eben für jeden (gewählten) Punkt vorher das zugehörige
Biegemoment usw. ermittelt werden.Es bedeuten:
dx=Abstand zwischen Punkten also die gewählte Balkenteilung L/n
Mi=das jeweilige Biegemoment in dem Punkt, aus Belastungen.
M1=das Biegemoment ,aus der „Last“ N=1 an der gesuchten Stelle für die
Durchbiegung,an dem jeweiligen Punkt.(N=1 ist dimensionslos)
E oder I ebenfalls die Werte an dem entsprechenden Punkt.

Ich gehe mal davon aus,daß Du (noch)nicht ganz durchblickst was ich
da aufgeführt habe, aber es sind eben wirklich Kenntnisse zu der
ganzen Thematik erforderlich welche hier auf die Kürze nicht
vermittelt werden können.
Gruß VIKTOR

#8

Hallo,

auch wenn das Problem im ersten Moment vllt. trivial klingt,
ist die Durchbiegung eines Balkens eine recht komplizierte
Angelegenheit.

das ist m.E richtig.
Aber doch nicht so kompliziert oder auch so nicht immer machbar
wie dies:

Du musst dazu eine Differentialgleichung 4. Ordnung lösen.

Mit E als so genanntes Elastizitätsmodul des Balkenmaterials,
I(x) als Flächenträgheitsmoment, L als Länge des Balkens und
q(x) als Gewicht pro Längeneinheit, ergibt sich die
Durchbiegung w(x)

Das Gewicht pro Längeneinheit nutzt nix, wenn ich Einzellasten
oder gar keine Lasten auf dem Balken habe sondern nur „eingetragene“
Biegemomente an den Auflagern.
Es ist praktisch immer richtig, zuerst die Biegemomente also
den Biegemomentenverlauf über den Balken zu ermitteln und
daraus die Durchbiegungen.
Die Biegemomente sind außer von den Lasten eben auch abhängig vom
statischen System des Trägers - auskragend, frei aufliegend auf
zwei Stützen oder durchlaufend mit Momenten an den Auflagern und
weitern zusätzlichen Parametern.

E \cdot I(x)\cdot w’’’’(x)=q(x) \quad x \in \left(- \frac L2 ,
\frac L2 \right )

Was dem Fragesteller hier wahrscheinlich für seine konkrete
Fragestellung praktisch nichts nutzt.
Gruß VIKTOR

#9

nur eben mit den grenzen, ± l/2 komm ich jetzt nicht ganz
mit?

Ich lege meinen Balken in ein Koordinatensystem und bringe die Länge l aus Symmetriegründen so an, das die Enden an den Punkten ± l/2 liegen.

#10

Ja das mit dem kragarm war auf einfache fertige formeln bezogen.

Das mit E und I ist klar. ist auch bekannt.

Ich versteh nicht ganz was du mit dem Momenten Dreieck meinst.

Übliche Vorgehensweise bei so einem Thema die mir bekannt ist:
an einem beispiel erklärt:
Kragarm mit einer kraft am freien ende.

  1. das biegemoment bestimmen.

  2. 2 maliges integrieren, und mit hilfe der randbedinungen die formel vervollständigen (integrationskonstanten bestimmen)

  3. nun ist die formel für die durchbiegung fertig, und man kann die werte einsetzen. abstand der kraft zur einspannung z.b.

nun is aber bei dem balken mit den 3 kräften mein hauptproblem, wie ich denn das korrekte biegemoment ermittle.

dazu müsste ich ja immer einen schnitt ansetzen, d.h. 3 schnitte da 3 kräfte.
ich kenne es das man vom linken lager z.b. die schnitte ermittelt und entsprechend die momente dann bekommt. aber da kann ich ja im endeffekt nichts addieren oder bin ich total auf dem falschen weg?

hab leider kein bild dazu, und werte auch nicht.

#11

Hallo,

Ich versteh nicht ganz was du mit dem Momenten Dreieck meinst.

das ist die „Momentenfläche“, also der Momentenverlauf, aus einer
Einzellast auf einem Balken auf 2 Stützungen über die Länge.

Übliche Vorgehensweise bei so einem Thema die mir bekannt ist:
an einem beispiel erklärt:
Kragarm mit einer kraft am freien ende.

Ja das ist einfach.Aber auch da hast Du ja eine dreiecksförmige
Momentenfläche mit maxM an der Einspannstelle und M=0 am Kragarmende.
Außerdem suchst Du dann die max.Durchbiegung am Kragarmende, unter
der Last, und nicht noch Durchbiegungen dazwischen.
Bei Deinem Beispiel aber willst Du die Durchbiegung unter drei
verschiedenen Punkten von jeder der drei Lasten.

nun is aber bei dem balken mit den 3 kräften mein
hauptproblem, wie ich denn das korrekte biegemoment ermittle.

Das, habe ich gedacht,wäre Dir geläufig weil dies die
Voraussetzung.

dazu müsste ich ja immer einen schnitt ansetzen, d.h. 3
schnitte da 3 kräfte.

Also weißt Du es doch.
Für jede der 3 Kräfte ermittelst Du das maximale Biegemoment
unter der Last.Über den Balken verteilt hast Du eine dreieckförmige
Momentenfläche.
Behandele jede der drei Kräfte einzeln und ermittele jeweils unter
den 3 Krafteintragungspunkten die Durchbiegung.(9 Durchbiegungen)
Addiere dann einfach alles.

ich kenne es das man vom linken lager z.b. die schnitte
ermittelt und entsprechend die momente dann bekommt.

Das max.Biegemoment unter der Kraft N ist jeweils(stat.best.System)
Mo=N*a*b/L , mit
a=Abstand der Kraft vom linken Auflager A
b=L-a
L=Stützweite des Trägers.
Doch dies ist Dir alles bekannt , oder ?
Wie Du aus den Momentenflächen explizit die verschiedenen
Durchbiegungen mit Hilfe der Flächenintegrale(Produkt aus 2 Flächen)
ermitteln kannst habe ich in meinem vorigen Beitrag angegeben.
Dein Problem ist, daß Dir die entsprechenden Auswertungsformeln
fehlen welche ich in meinem Beitrag erwähnte um „einfach“ diese
Durchbiegungen zu ermitteln.
Wenn Du Zugang zu Fachbüchereien hast kannst Du wahrscheinlich etwas finden, oft auch in Stadtbüchereien.
Gruß VIKTOR

#12

jetz hab iches glaube ich verstanden.

  1. du meinst die superpositionmethode, jede kraft einzeln auf dem balken betrachten.
  2. für jede kraft den momentenverlauf ermitteln, bzw biegelinie, welche im querkraft/momenten diagramm ein trapez dreieck o.ä. ergibt?
    aus der momentengleichung kann man dann für jede kraft das integral für die durchbiegung ermitteln.
  3. anstatt dem integral würde es aber auch die fertigen formeln geben für gewisse fälle?
  4. zusammen addieren der w(x) um am ende für alle 3 kräfte die entsprechendn abstände einsetzen?