habe gerade einen Knoten im Hirn. Ich suche die Durchbiegung eines Rohres vs. Vollmaterials bei gegebenem Material und Belastung im Belastungsfall „einseitig fest eingespannt - Kraft am Ende des Rohres“.
Die Durchbiegung f wird berechnet wie folgt:
f=(Fl³) / (3E*I)
F…Kraft
l…Balkenlänge
E… E-Modul
I… Flächenträgheitsmoment
d.h. Durchbiegung f ist umgekehrt proportional zu I,
d.h. je größer das Flächenträgheitsmoment I, desto kleiner die Durchbiegung.
Jetzt ist I für einen Vollstab (D^4) eigentlich immer größer als für ein Rohr (D^4-d^4).
Das heisst bei konstanter Balkenlänge, Kraft, E-Modul verformt sich das Vollmaterial weniger als ein Rohrmaterial mit gleichem Außendurchmesser.
„Theoretisch gefühlt“ verformt sich ein Rohr bei gleicher Kraft, Emodul, Länge weniger als ein Vollmaterial.
Bei gleichem Außendurchmesser ist das Vollmaterial steifer. Das „Problem“ ist, dass das Material innen immer weniger beiträgt. Die Faser" in der Mitte trägt nichts bei. Schau dir mal die Spannung über den Querschnitt an. In der Mitte ist sie 0.
Lassen wir das Thema Beulen mal weg. Bei gleichem Materialeinsatz trägt jedes hohle Rohr mehr als als das Vollmaterial. Etwas mehr Durchmesser merkt man „in der Praxis“ kaum, bringt aber einne Menge.
Die Erfahrung sagt uns, dass Rohre trotz ihres niedrigen Gewichts erstaunlich steif sind.
Wir vergleichen das im Kopf mit einer in etwa gleich schweren Stange aus Vollmaterial und kommen so gefühlsmäßig zu dem Schluss, dass Rohre stabiler als Vollmaterial sind. Das stimmt allerdings nicht: Rohre werden nicht labiler, wenn in ihrem Inneren statt Luft weiteres Material ist!
das sehe ich genau so, denn das sagen auch die Formeln.
Aber Christoph von der Sendung mit der Maus tut sich beim Biegen eines Rohres deutlich schwerer als beim Vollmaterial - gleiches Material und Außendurchmesser vorausgesetzt.
siehe Sendung mit der Maus ab 3:58.
der Film ist Murks. Bei 3:57 werden zwei Stäbe mit gleichen Aussendurchmessern in die Kamera gehalten, einer davon hohl (in der Nahaufnahme sieht es allerdings eher so aus, als wäre auf der Stirnfläche eines Vollstabes ein schwarzer Punkt aufgemalt).
Die angeblich größere Anstrengung, die vonnöten ist, um den gleichdicken Hohlstab zu biegen, halte ich für gnadenlos gefaked.
Ein Vollstab wird auf keinen Fall stabiler, wenn man Material entfernt!!! Wäre dem so, dann müsste er ja immer biegesteifer werden, je mehr man ihn aushöhlt. Zum Schluss hätte man ein Gebilde aus dünner Folie, und das kann ja wohl nicht gut gehen.
Ab 4:30 dann kommt man der Wahrheit langsam näher: plötzlich hat der Hohlstab einen größeren Aussendurchmesser. Er wiegt gleichviel wie der Vollstab, weil, bildhaft gesprochen, das Material, das aus dem Vollstab herausgebohrt wurde, aussen „draufgepackt“ wurde und demzufolge den Aussendurchmesser erhöht. Natürlich wird er dadurch stabiler, weil, wie Dirk schon erwähnte, das Material immer weniger zur Steifigkeit beiträgt, je näher es sich an der „neutralen Achse“ befindet.
Ein einseitig eingespannter und auf Biegung beanspruchter Stab wird oben gedehnt (Zugspannung), an seiner Unterseite aber gestaucht (Druckspannung). In der Mitte befindet sich die neutrale Achse, wo die beiden entgegengesetzten Spannungen sich treffen und demzufolge durch Null gehen.
Material in diesem Bereich trägt nichts zur Biegesteifigkeit bei. Nimmt man es weg und benutzt es, um den Aussendurchmesser zu erhöhen, erhöht sich die Biegesteifigkeit, ohne dass das Rohr schwerer wird. Auch die Querschnittsfläche bleibt gleich.
Hallo C.,
vielen Dank für Deine ausführliche Antwort.
Da bin ich doch mal froh, dass mich meine alte Formelsammlung nicht anlügt. Schade nur, dass die Aussage in der Sendung mit der Maus eher falsch als richtig ist.
Grüße
Jürgen
