Eigenwerte berechnen (ein wenig verzwickt)

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

für einen Vektor x \in \mathbb R^n und ein t \in \mathbb R

sei die Matrix M wie folgt definiert:

M:=\begin{pmatrix} t \cdot E_n & x \ x^T & t \end{pmatrix}

Dabei bezeichne E_n die n-dimensionale Einheitsmatrix.

[Das M ist halt so eine Blockmatrix, ich würde sie gerne detaillierter aufschreiben, aber das funktioniert mit LaTeX leider nicht.]

Ich möchte nun die Eigenwerte dieser Matrix ermitteln. Dazu muss ich die Nullstellen von \det (M-\lambda E_n) finden. Dabei ist aber M-\lambda E_n eine Matrix, wo überall Nullen sind außer auf der Diagonalen und in der letzten Zeile sowie in der letzten Spalte nicht.

Nun weiß ich nicht, wie man davon die Determinante ausrechnen kann. Vielleicht gibt es da irgendwelche Tricks. Es müsste auf jeden Fall irgendetwas mit \left | x \right |_2 = \sqrt{x_1^2+…+x_n^2} herauskommen.

Es würde mich freuen, wenn ihr mir weiterhelfen würdet.

Viele Grüße,
Lisa

#2

Hi,

Trick würde ich es nicht nennen. Ich habe den Entwicklungssatz für n=2 und n=3 benutzt. Ich komme auf det(M-λE)=p(λ)=(t-λ)⁽ⁿ⁺¹⁾-(t-λ)⁽ⁿ⁻¹⁾·|x|², was man für alle n mit der vollständigen Induktion beweisen müsste. Man kann es mit dem Entwicklungssatz bestimmt auch direkt ausrechnen. Probiere mal, nach der ersten Zeile oder der letzten Zeile zu entwickeln.

Grüße

Marco

#3

Hi,

es gibt Formeln von Sherman, Woodbury, Morrison bzw. eine Formel von Samuelson für die Berechnung von Determinanten (und Inversen) von Blockmatrizen.

Bzw. man kann die gegebene Matrix recht einfach in Dreiecksmatrizen faktorisieren, was den Prozess der Lagrange-Entwicklung in übersichtlicher Form nachbildet.

Berechne

\begin{align}
\begin{pmatrix}
E&y \ 0&a
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
t \cdot E_n & x \ x^T & t
\end{pmatrix}
\end{align}

und passe den Vektor y und die Zahl a so an, dass das Ergebnis eine linksuntere Dreiecksmatrix ist. Danach ist die Determinante einfach zu bestimmen.

Gruß, Lutz

#4

Hallo Lisa,

wenn Du nach der n-ten Spalte (oder auch Zeile) entwickelst, dann erhältst Du zwei Beiträge. Der erste Beitrag ist der Ausgangsdeterminante strukturgleich mit um eins reduziertem n. Die Blockmatrix ist nur noch eine (n-1)x(n-1)-Matrix und die Vektoren haben das letzte Element verloren, also nur noch (x1,x2,…,x_(n-1)). Der zweite Beitrag ist eine Matrix, die in der untersten Zeile bis auf das x_n nur Nullen enthält und auch ansonsten fast nur auf der Diagonalen lebt. Deren Determinante kannst Du leicht ausrechnen.

Auf diese Weise sollte sich das Problem gut in den Griff bekommen lassen.

Liebe Grüße,

TN