Liebes Forum,
ich habe drei Punkte im R^n in allgemeiner Lage (P, Q, R) und soll zeigen, dass es genau eine Ebene gibt, die alle drei Punkte enthält.
Die Existenz der Ebene habe ich zeigen können, sie ist ein affiner Unterraum und zwar eine um P verschobene Ebene, die durch Q-P und R-P aufgespannt wird. Mit dem Eindeutigkeitsbeweis habe ich allerdings Probleme. Sicher geht es über einen Widerspruch, hat jemand eine Idee?
Herzlich
Catrin
Mit „allgemeiner Lage“ wird das nicht gehen. Die Punkte dürfen nicht auf einer Gerade liegen. Vielleicht steckt in dieser Einschränkung auch ein Ansatz für den Beweis.
Das ist unsere Definition von allgemeiner Lage - nicht auf einer Geraden liegend.
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Und wieder was dazu gelernt.
Hallo,
Genau. Nimm eine zweite Ebene E’ an, aufgespannt durch P, Q’, R’, oBdA auch um P verschoben, die P, Q, R aus der ersten Ebene enthält, und zeige, daß jeder Punkt von E’ bereits in E enthalten ist, und jeder Punkt in E auch in E’. Damit gilt E ‚teilmenge‘ E’ und E’ ‚teilmenge‘ E, also Gleichheit.
Genau das meinte ich, aber ich krieg das einfach mit diesen beiden Teilmengeninclusionen nicht aufgeschrieben. Wie mache ich das?
Herzliche Grüße
Catrin
Per Voraussetzung soll E’ Q und R enthalten, wir stellen Q, R also dar als:
Q = lambda_q (Q'-P) + kappa_q (R'-P)
R = lambda_r (Q'-P) + kappa_r (R'-P)
zu zeigen ist nun, daß ein beliebiger Punkt X aus E in E’ liegt, also X darstellen als:
X = lambda_x (Q-P) + kappa_x (R-P)
und selber überlegen, wie die Darstellung in E’ aussieht.
Dann das ganze umdrehen. Einen Punkt Y aus E’ mit Q’,R’-Koordinaten darstellen und die Q,R-Koordinaten aus E angeben.
Funktioniert es, wenn ich die Darstellungen von Q und R in die von X einsetze?
Genau. Und dann solange umbauen bis etwas von der Form:
lambda_x' (Q'-P) + kappa_x' (R'-P)
steht.
Ich arbeite nachher weiter dran …
Warum steht in den Darstellungen das P nicht als Stützvektor?
Bis nachher.
Herzlich Catrin
verstehe ich nicht, hast Du die lambdas und kappas nicht richtig zusammengezogen? Bei mir bleiben genug P’s übrig. Die Darstellung muß ja auch nicht exakt sein, sondern jeder Punkt X, der sich als Kombination von P,Q,R schreiben läßt, muß sich auch als Kombination von P,Q’,R’ schreiben lassen.
Wenn es einfacher ist, forme Punkte der Form
X = lambda_x P + kappa_x Q + iota_x R
um.
ich meinte damit, dass sich jeder Punkt der Ebene, die P, Q und R enthält schreiben lassen muss als X=P + Lambda(Q-R) und kappa(R-P), sonst hätte ich doch ausschließlich Ursprungsebenen, oder?
Damit funktioniert es auch gut. Danke, du hast mir wieder sehr geholfen. Ich wünsche einen schönen ersten Advent.
Herzlich
Catrin
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