Eine Polynomfunktion aus mehreren berechnen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich habe einen NIR-Scanner für verschiedenen Materialien (z.B. 1, 2 & 3) kalibriert. Die Kalibrierungen werden jeweils mit einer Polynomfunktion zweiten Grades beschrieben:

y1 = a1 x^2 +b1 x +c1
y2 = a2 x^2 +b2 x +c2
y3 = a3 x^2 +b3 x +c3

Nun möchte ich eine Mischprobe erstellen mit folgender Zusammensetzung:

1: 0,5
2: 0,3
3: 0,2

Dabei will ich testen, ob ich die neue Kalibrierung rechnerisch erstellen kann. Ich werde das dann mit der tatsächlichen Kalibrierung vergleichen. Meine Idee wäre die neuen Koeffizienten folgendermaßen zu berechnen:

ap = (a1 * 0,5) + (a2 * 0,3) + (a3 * 0,2)
bp = (b1 * 0,5) + (b2 * 0,3) + (b3 * 0,2)
cp = (c1 * 0,5) + (c2 * 0,3) + (c3 * 0,2)

Daher wäre meine neue Korrelationskurve bzw. Polynomfunktion (yp) für die Mischprobe:

yp = ap x^2 +bp x + cp

Ich kann kein mathematisches Verfahren finden, wo eine Polynomfunktion aus mehreren Polynomfunktionen berechnet wird.

Kann jemand mir sagen, ob das, was ich mache, mathematisch richtig ist?

Oder kennt jemand dazu ein Verfahren?

Vielen Dank im voraus!

#2

Hallo,

da ich nicht weiss, was ein NIR-Scanner usw. ist, kann ich dir nur helfen, wenn du das Problem allgemein verständlicher formulierst. Das heisst unter anderem: Welche Bedingungen sollen die Polynome erfüllen, für welche Variablen setzt man die Zahlen 0.5, 0.3 und 0.2 ein, und was soll dann rauskommen?

Gruß

#3

Hallo,
leider kann ich Dir hierbei nicht helfen.
Sorry!

#4

Hallo,

NIR-Scanner = Nahinfrarot-Scanner. Es ist eine chemische Analysentechnik auf Basis der Spektroskopie im Bereich des kurzwelligen Infrarotlichts. Mit dem Scanner kann ich u.a. den Wassergehalt eines Materials messen. Ich muss zuerst den Scanner kalibrieren. Dabei nehme ich ein Material (z. B. Holz = 1, PVC = 2 und Textil = 3) und stelle verschiedene Wassergehalte ein. Zum einen bestimme ich den Wassergehalt im Labor in % und zum anderen bestimme ich den (Wasser-)Absoptionsgrad mit dem NIR-Scanner. Der Wassergehalt in % wird in der y-Achse und der Absoptionsgrad in der x-Achse eingetragen werden. Daraus entsteht die Korrelationskurve bzw. Polynomfunktion.

Jetzt mache ich das für eine Mischprobe, die z.B. folgender Zusammensetzung hat:

Holz (1) = 50% -> 0,5
PVC (2) = 30% -> 0,3
Textil (3) = 20% -> 0,2

Ich will nun schauen, ob ich die Korrelationskurve bzw. Polynomfunktion für die Mischprobe rechnerisch erstellen kann.

Also, die Frage ist rein mathematisch. kann ich die Koeffizienten neu berechnen anhand der prozentualen Anteile der Materialien:

1: 0,5
2: 0,3
3: 0,2

ap = (a1 * 0,5) + (a2 * 0,3) + (a3 * 0,2)
bp = (b1 * 0,5) + (b2 * 0,3) + (b3 * 0,2)
cp = (c1 * 0,5) + (c2 * 0,3) + (c3 * 0,2)

Grüße

#5

Okay, also so habe ich es verstanden:

Du hast ein Polynom zweiten Grad f(x)=ax^2+b*x+c mit unbekannten Koeffizienten a,b,c.
Weiter hast du jeweils den Wassergehalt der drei Materialien (im Labor gemessen) x1, x2, x3 und die Absorptionsgrade y1, y2, y3 (mit dem Scanner gemessen).

Du willst nun die Koeffizienten so wählen, dass gilt:

f(x1)=y1
f(x2)=y2
f(x3)=y3.

Das geht ganz einfach, du musst das lineare Gleichungssystem, das du dann erhältst, nach den Variablen a,b,c auflösen.

Damit erhältst du ein Polynom, welche alle drei Messwerte kodiert. Es macht keinen Sinn, für jedes Paar (x,y) an Messwerten ein eigenes Polynom aufzustellen. Deshalb macht es auch keinen Sinn, für diese Mischprobe ein neues Polynom aufzustellen. Aber du kannst mit dem Polynom, das du bereits hast, den erwarteten Absorptionsgrad berechnen. Denn diese Mischprobe hat den Wassergehalt:

0.5x1+0.3x2+0.2x3,

also ist der erwartete Absorptionsgrad:

f(0.5x1+0.3x2+0.2x3).

Diesen Wert kannst du jetzt ausrechnen, weil du die Koeffizienten a,b,c vorhin bestimmt hast.

Gruß

#6

Leider funktioniert das so nicht, man kann nicht einfach die Koeffizienten der verschiedenen unabhängigen Variablen aus unterschiedlich formulierten Beziehungen/Funktionen miteinander verknüpfen. Worauf soll das basieren?. Mir ist auch nicht ganz klar, worauf die Sache hinauslaufen soll.

Kurz: Das geht so nicht; da der Sinn nicht recht erschließbar ist, gibt es auch keinen Vorschlag zur Lösung des „Problems“…
Leider.

Frdl. Gruß
Dr. Schröter

#7

Fällt mir leider kein Verfahren ein. :frowning:
Viel Glück bei der Suche. Vielleicht könntest du mich informieren wenn du fündig geworden bist.

LG

#8

Hallo,

leider blicke ich bei deinem Problem auch nicht durch aber ich leite die Frage mal an meine Freundin weiter, angehende Doktorantin in Mathematik, vllt kann die weiterhelfen.