Eine weitere Steckbriefaufgabe 4. Grades. :S

Wissenschaft Mathematik
#1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse. Im Punkt P (2/0) hat der Graph die Steigung 2 und bei xw=-1 befindet sich eine Wendestelle.

Ich habe f(2)=0 gesetzt.
Für die Steigung f’(2)=2
Wendestelle: f’’(-1)=0

Und da der Graph symmetrisch ist, haben wir noch den Punkt (2/0) in (-2/0) geändert.

Dann haben wir (meine zwei Klassenkameraden und ich) f(-2)=0 als normalen Punkt gesetzt.
Und für die Steigung gilt dann f’(-2)=2.

Nun kommen wir nicht weiter… Kann uns das jemand ganz genau, verständlich erklären?

GLG

#2

Wenn der Graph symmetrisch zur y-Achse ist, gibt es im Funktionsterm ja nur gerade Exponenten:
f(x) = ax^4 + cx^2 + e

Man hat also drei Unbekannte und drei Bedingungen (alles richtig angesetzt: f(2)=0, f’(2)=2, f’’(-1)=0) - passt: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und eben den drei Unbekannten a, c und e.

Genügt das als Hilfe?

#3

f"(-1)=12a+2b=0=>2b=-12a=>f’(2)=-16a=2=>a=1/8=>b=3/4
f(2)=-0,125*16+3+c=0=>c=1

#4

Hallole,

Da symmetrisch zur y-Achse der Ansatz für f:
f( x ) = a * x^4 + b * x^2 + c

Nullstellen ergeben 2 Koeffizienten. f umschreiben mit
y := x^2
Damit ergibt sich als Bedingung für die Nullstellen eine quadratische Gleichung in y.

Mit der gegeben Steigung in den Nullpunkten 1. Ableitung ausrechnen und einsetzen. Allerdings muß wegen der Symmetrie die Steigung in ( -2, 0 ) nicht 2 sondern -2 sein. Am einfachsten einfach mal malen, dann wird das klar!

Bedingung ergibt eine Gleichung 3. Grades in x.

Weil Funktion symmetrisch zur y-Achse, gibt es auch 2 Wendepunkte: xw1 = -1 und xw2 = +1
Für Wendepunkt 2. Ableitung ausrechnen und in Bedingung einsetzen. Ergibt quadratische Gleichung in x.

MfG
G. Aust

#5

hallohon Neptunos

Vielen Dank für diese Aufgabe am frühen Morgen. Leider muss ich passen.

Gruss, Thomas

#6

Hallo.

Versuche alle Voraussetzungen aufzuschreiben, um möglichst viele Gleichungen zu erhalten, um die vier Unbekannten auflösen zu können.

  1. f(2) = 0
  2. f(-2) = 0 (aus der Achsensymmetrie)
  3. f’(2) = 2
  4. f’(-2) = -2 (aus der Achsensymmetrie)
  5. Wendepunkt - ich kenne die Notation xw allerdings nicht.

Jedenfalls solltest Du damit hinkommen.

Viele Grüße,
Michael

#7
  1. Grad heißt 5 Unbekannte also 5 Bedingungen:
  2. P(2|0) also f(2)=0
  3. P(-2|0) also f(-2)=0 Achsensymmetrie
  4. f’(2)=2
  5. f’(-2)=-2 (Achsensymmetrie)
  6. f’’(-1)=0 (Wendestelle)

dann nach den 5 Unbekannten auflösen und fertig.
Gruß Frank

#8

Hallo nochmal,

ich hoffe meine Antwort von gestern hat nicht zu viel Verwirrung verursacht.

Welchen Grad die Gleichungen für die Bedingungen in x ergeben, ist eigentlich gleichgültig, weil die entsprechenden x-Werte eingesetzt werden. Die Umschreibung y := x^2 wird natürlich auch nicht gebraucht.

Jede der Bedingungen ergibt nur 1 (!!) Gleichung weil die Symmetrie zur y-Achse im Ansatz für die Funktion f schon drinsteckt.

Es ergeben sich also 3 lineare Gleichungen für a, b und c wie es sein soll. Anfgefangen von der kürzesten Gleichung in die anderen einsetzen und die 3 Unbekannten a, b und c ausrechnen.

Das war’s!! Sorry nochmal für den Irrtum gestern.

MfG
G. Aust

#9

Hallo,
wenn der Graph symmetrisch zur y-Achse ist ist die Steigung bei -2 nicht auch 2 sondern -2 (bei -2 gehts runter, an der y-Achse gespiegelt gehts dann wieder hoch). Geht aber einfacher: Symmetrisch zur y-Achse heißt keine ungeraden Hochzahlen, also f(x)=a*x^4+b*x^2+c -> 3unbekannte,3 Gleichungen sollten reichen.
Gruß,
Fabi

#10

Hallo,
die drei Bedingungen, die Du zu Beginn aufgestellt hast, reichen völlig aus, um die Aufgabe zu lösen.

Ansatz: f(x) = ax^4 + bx^2 + c (wegen der Symmetrie fehlen alle ungeraden x-Potenzen). Damit ist f’(x) = 4ax^3 + 2bx und f’’(x) = 12ax^2 + 2 b.

Mit den eingangs aufgestellten Bedingungen ergeben sich dann die folgenden drei Gleichungen:
f(2) = 0 --> 16a + 4b + c = 0 (I)
f’(2) = 2 --> 32a + 4b = 2 (II)
f’’(-1) = 0 --> 12a + 2b = 0 (III)

Aus den letzten beiden Gleichungen lassen sich a und b berechnen, z.B. durch
II - 2*III: 8a = 2 --> a = 1/4
a in III ergibt: 3 + 2b = 0 --> b = -3/2

Nun setzt man a und b in I ein und erhält:
4 - 6 + c = 0 --> c = 2.
Das war’s bereits:
f(x) = 1/4 x^4 - 3/2 x^2 + 2.

Der Symmetriepunkt P(-2/0) stimmt zwar, er liegt auf dem Funktionsgraphen. Er bringt aber gegenüber f(2) = 0 keine neue Gleichung, denn f(-2) = 0 bringt wiederum die Gleichung I. Darüber hinaus ist es falsch, bei symmetrischen Funktionen auch die Steigung als identisch im Symmetriepunkt anzusehen, denn die Funktion hat bei x = -2 eine völlig andere Steigung als bei x = 2. Die Steigung ist nicht achsensymmetrisch, sondern punktsymmetrisch zum Ursprung, d.h. für f’(-2) gilt hier: f’(-2) = -2. Das sieht man an der 1. Ableitung f’(x) = 4ax^3 + 2bx. Die Ableitungsfunktion ist - wie schon oben gesagt - punktsymmetrisch zum Ursprung, d.h. es gilt bei dieser Ableitung allgemein:
f’(-x) = - f’(x).

Viele Grüße
funnyjonny

#11

Hallo,
gehe ähnlich vor wie bei dem Polynom 3. Grades:

  1. f(x) = ax^4 +cx² + e
  2. f’(x) = 4ax³ +2cx
  3. f’’(x) = 12ax² + 2c.
    Und nun einfach wieder die vorhandenen Informationen einsetzen (euer Vorgehen mit x = -2 bringt nichts, außerdem ist wegen Achsensymmetrie f’(-2) = -2):
  4. f(2) = 0 => 0 = 16a + 4c + e (Gleichung 1)
  5. f’(2) = 2 => 2 = 32a + 4c (2)
  6. f’’(-1) = 0 (da Wendepunkt!) => 0 = 12a +2c (3)
    Aus diesen 3 Gleichungen für die 3 Parameter a, c, e erhält man a=1/4, c=-3/2 und e = 2 und somit
    f(x) = 1/4x^4 -3/2x² + 2.

Gruß
Retep47

#12

Hallo, ihr seid auf dem richtigen Weg, habt aber vielleicht übersehen, dass die Symmetrie zur y-Achse das Problem auf nur drei Variable a, b c reduziert:
f(x) = a*x^4 + b*x^2 +c
Jetzt setzt Ihr Eure drei Bdingungen ein:

  1. f(2)=0 liefert die Gleichung 16a + 4b + c=0
  2. f’(2) = 2 ergibt 32a + 4b = 2 und
  3. f’’(-1)=0 ergibt 12a + 2b =0.
    Die Gleichungen 2) und 3) löst ihr nach a und b auf
    (Ergebnis a=0,25; b= - 1,5) und setzt in Gleichung 1) ein, um c zu erhalten (c=2)
    Gruß
    Jobie
#13

Leider erst jetzt! Ich war länger im Ausland…
Also dann:
Am besten wäre wegen der Symmetrie gleich der Ansatz
f(x)=a*x^4+b*x^2+c. Dann gehts ganz schnell.

Bei euch müsste die Symmetrie mit f’(-2)=-2 statt
f’(-2)=+2 berücksichtigt werden. Probiert mal beides.
Viel Spaß!
Walter

#14

was genau möchtest du noch berechnen??
bzw wie genau lautet die aufgabenstellung?