Ich muss einen Beweis führen und weiß nicht wie
Die Aufgabe lautet Beweise wenn a,b,c>0,dann gilt a×a×a+b×b×b+c×c×c = oder>3abc
Schau mal bei wikipedia zu Beweis, WiderspruchsBeweis und vollständige Induktion (hier wohl nicht nötig)
Sind a,b,c ganze Zahlen oder nicht?
Es können sowohl ganze als auch gebrochene zahlen sein
hi jojo finchen
ich versteh diese punkige frage garnicht;
wenn ich z bsp a = 7 b=9 und c=11 einsetze komme ich auf
3(7 + 9 + 11) = 81 und
3*7*9*11= 2079 und das soll dann größer sein als 81??? oder gleich sein.
ist mir auch egal . . .
sorry kann dir nicht helfen
lg
ralf
Hallo jojo finchen,
da kann ich leider im Moment nicht weiterhelfen.
Viele Grüße
Benjamin
Moin,
ich kann dir den Beweis gerade auch nicht aufzeigen, aber einen weisiglichen Rat: du hast hier, wenn ich das richtig sehe, sehr viele Anfragen zu Beweisen gepostet, was ich bemerkenswert finde.
Bei gravierenden Verständnisschwierigkeiten würde ich mich an den Dozenten, Übungsleiter oder an deine Lerngruppe wenden.
Außerdem wäre es erheblich einfacher, wenn Helfende wüssten, in welcher Ebene wir uns befinden: Uni, Oberstufe, Sek 1, Hobby?
Zahlentherie oder Analysis etc.
und was habt ihr kurz vorher für Beweismethoden durchgenommen etc. Dann wüsste man, wenn man die Lösung nicht schon kennt oder der Crack in Mathe schlechthin, also ich zumindest, besser, in welche Richtung die Hilfestellung gehen soll.
Einfach Aufgaben für andere zu machen, ist für mich meist nicht interessant genug. Sorry.
Meine Ideen/Tipps bei Ungleichungen geht durch Ersetzen von jeweils kleineren Termen zB bei Fallunterscheidungen a>b>c, dann verkleinert sich die linke Seite, wenn a^3 durch abc ausgetauscht wird. So kann sukzessiv vielleicht die Ungleichung angenähert werden.
Eine zweite tolle Methode, auch in Fallunterscheidungen, teilen durch eine kleinere Zahl, dann erhalte ich zB a/b>1 und kann das dann durch 1 abschätzen, also ersetzen und so sukzessive mich der gesuchten Ungleichung annähern.
Vorzeichenwechsel muss nicht befürchtet werden, da alle Terme >0
Und last but surely not least:
Umformen der Terme, Ausklammern, alles auf eine Seite bringen und schauen, dass es größer Null bleibt: Bei Produkten durch erneute Fallunterscheidungen bei den Faktoren möglich.
Das sind meine Ideen.
Für den Fall a=b=c ist die Ungleichung schon mla bewiesen, da dann gilt:
a^3+a^3+a^3=3*a*a*a
die anderen Fälle lege ich dir nahe.
lg
Hallo,
eine interessante Aufgabe. Ich habe lange geknobelt, kann dir aber leider keine Lösung anbieten. Ich hoffe du findest noch einen Experten mit einer guten Lösung
a^3+b^3+c^3>=3abc
a^3-abc>= -b^3-c^3
a(a^2-bc)>= -b^3-c^3
…
sorry, … das dauert noch etwas!
a^3+b^3=(a+b)^3-3ba^2-3ab2
\quad
(a+b)^3+c^3=
(a+b+c)^3-3c(a+b)^2-3(a+b)c^2
…
ein andermal vielleicht!-(
PS: bitte poste die Antwort sobald Du sie hast! (Wo wurde die Aufgabe gestellt???)
a^3+b^3=(a+b)^3-3ba^2-3ab^2
…
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3c(a+b)^2-3(a+b)c^2-3ba^2-3ab^2
(a+b+c)^3-3c(a+b)^2-3(a+b)c^2-3ba^2-3ab^2-3abc\geq 0
(a+b+c)^3-3ca^2-3cb^2-3ac^2-3bc^2-3ba^2-3ab^2-9abc\geq 0
… und dann evtl. so wie „Вruесkеnzentrum“ beschrieben hat …
Das ist falsch!!!
Gegenbeweis:
a=0,1
b=0,1
c=0,1
Gruß
@##23 und @„ralf günther“ mal genauer hinschauen:
nicht 3a… sondern a^3!!!
evtl. kommt man ja auch mit ner Kurvendiskussion über ne „3-wertige“ Funktion f(a,b,c) weiter, wenn man schon eine „Nullstellenschar“ für alle a=b=c>0 kennt!???
Dein gegenbeweis ist falsch 0,1^3+0,1^3+0,1^3=3×0,1×0,1×0,1
=0,003
Ok, sorry du hast Recht!
Try this:
Seien a,b,c,x,y größer gleich 0 und
ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte: b= a+x und c=a+y
Dann ergibt sich nach vielem Ausmultiplizieren:
I.) 3ax²+x³+3ay²+y³ >= 3axy
Aus den Bedingungen oben folgt aber auch, dass:
entweder 3ax²>=3axy oder 3ay²>=3axy (gleich für x=y)
Folglich gilt in I.) immer das „>“-Zeichen, außer x und y sind beide Null, also für den Fall, dass a=b=c gilt.
Ich hoffe das Stimmt jetzt.
Gruß
Schön wie #23 das so einfach gelöst hat.
Man könnte sogar ohne Beschränkung der Allgemeinheit von vornherein x
Schade. Mir hatte die Aufgabe keine Ruhe gelassen und ich hatte in den freien Stunden gerechnet und dann den Schwerpunkt ebenfalls auf den Unterschied zwischen a,b,c gelegt, um aus den Fallunterscheidungen herauszukommen.
Und gerade hatte ich es ausgerechnet und wollte es posten und sehe, dass die Lösung hier schon gerechnet wurde.
Ich würde ebenfalls mit x>=y (bei mir waren es t und s ) arbeiten, dann könnte links 3axy durch 3ax^2 vergrößert werden. Diese Abschätzung funktioniert immer noch, da links ja die Summe mehrerer positiver Terme und 3ax^2 steht, also links erst recht größer ist als 3axy.
Schön. Was mache ich jetzt mit meiner freien Zeit? =)