Hallo Allemiteinander, ich habe folgende Stochastik Frage:
Es Geht um Kugeln aus einer Urne Ziehen mit zurücklegen:
Jedes mal wird eine Kugel gezogen, dabei hat die grüne Kugel 6% Wahrscheinlichkeit und die rote Kugel 5% Warchscheinlichkeit. Wie oft muß man durchschnittlich den Versuch wiederholen, bis beide Kugeln gezogen sind?
Wenn ich rate, 37 Mal aber was weiss ich schon.
Hallo Zera, mal laienhaft, die grünen haben größere Chance, die bekommst Du nebenher. Also kümmere Dich nur um die roten, bei 5% Chance mußt Du 20 mal greifen, dann hast Du bei vielen Versuchen beide Farben. Gruß, eck.
hi,
naja: „einfach“? ist eigentlich eine multinomiale fragestellung, weil wir ja pro versuch 3 ausgänge haben.
37 ist eine nette idee: die durchschnittliche wartezeit auf die erste grüne kugel ist 16 2/3 züge, für rot 20 züge, gibt als summe die 37.
das berücksichtigt aber nicht, dass vor der zweiten farbe die erste farbe bereits mehrfach gekommen sein könnte.
ich kriege 27,575757… = 27 57/99 züge. das stimmt auch ganz gut zur praxis, die man am computer simulieren kann.
folgende überlegung:
wir haben als basisereignisse G, R und a: eine grüne kugel kommt (G), eine rote kugel kommt ®, eine andere kugel kommt (a).
wie sieht eine „erfolgreiche“ (= erfolgreich abbrechende) kette der länge n aus?
typischerweise etwa so:
RRaaaRaaaRaaaaG
oder
aaaaaaaaGGaaaaR
usw.
eine kette der länge n hört also mit einem ereignis G auf und hat davor nur ereignisse aus a und R bzw. spiegelbildlich für R. ausgenommen muss die kette
aaaaaaaaaaaaaaaG
werden. die ist nicht erfolgreich. die bricht nicht ab.
die wsk, dass eine abbrechende kette der länge n zusammenkommt, lässt sich i.w. binomial berechnen:
(P®+ P(a))^(n-1) - (P(a)^(n-1)) * P(G)
für ketten, die mit G aufhören und
(P(G)+ P(a))^(n-1) - (P(a)^(n-1)) * P®
für ketten, die mit R aufhören.
wenn man diese wahrscheinlichkeiten mit den kettenlängen multipliziert und addiert, bekommt man den erwartungswert für die länge der ketten. ich krieg wie gesagt per tabellenkalkulation für die vorgegebenen werte 0,06 und 0,05 als ergebnis 27,575757…
hth
m.