Ich suche einen möglichst einfachen, aber dennoch korrekten Beweis des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung. Wickipedia benutzt dazu einen Hilfssatz (den von Rolle), das ufert aber m.E. aus.
Du betrachtest die Funktion
g(x)=(b-a)*f(x)-(x-a)*f(b)-(b-x)*f(a)
Diese hat an x=a und an x=b Nullstellen, also dazwischen ein Maximum oder Minimum wo die Ableitung von g Null ist. Also
0=g’©=(b-a)*f’©-(f(b)-f(a)).
Oder so:
Sei m=(f(b)-f(a))/(b-a). Gilt nun immer f’(x)>m, so ist nach dem Hauptsatz f(b)-f(a)>m*(b-a). Ausschließlich f’(x)
„Als erstes nähert man sich der Tangentensteigerung. Dies geschieht durch eine Sekantensteigerung. Gesucht ist deshalb die Steigerung einer Funktion in einem bestimmten Punkt. Sie ist also der Quotient zweier Differenzen, auch als Differenzquotient bezeichnet. Dies kommt z. B. bei der Durchschnittsgeschwindigkeit vor. Die Tangentensteigerung wird berechnet, in dem man beide Punkte durch die Sekante zieht, diese rücken immer näher zusammen. Der Quotient bleibt normalerweise endlich. Auch Terme werden als Differentiale bezeichnet. Eine Funktion kann als differenzierbar bezeichnet werden, ohne dass sie sich auf eine bestimmte Stelle bezieht. Die differenzierte Funktion ist stetig, jedoch nicht im Umkehrschluss. Bis zum 19. Jahrhundert war die stetige Funktion maximal an zwei Stellen differenziert.“
Im folgenden Link gibt es eine übersichtliche Darstellen über den korrekten Beweis des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung: