Einfaches Rechenproblem aus der Kombinatorik

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Leute,

ich versuche ein einfaches Kombinatorik/Wahrscheinlichkeits – Problem zu lösen:

Man hat 30 Kugeln und 20 Becher. Die Kugeln werden zufällig auf die Becher verteilt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen in einem beliebigen Becher eine, zwei drei oder vier Kugeln?

Ich hätte ja für die Wahrscheinlichkeit „eine Kugel im Becher“ einfach 30 durch 20 geteilt. Und für „zwei Kugeln im Becher“ das Ganze hoch 2 genommen… aber dann würde ja die Wahrscheinlichkeit mit zunehmender Anzahl an Kugeln steigen. Wo ist mein Denkfehler?

Vielen Dank und schöne Grüße,
Chris

#2

Moin,

Wo ist mein Denkfehler?

andersherum denken.
Rechne mit der Wahrscheinlichkeit, daß Dein Ereignis nicht eintritt.

Gandalf

#3

Interessant…

Aber ich komm nicht drauf. Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass nicht 2 Kugeln in einem Becher sind?

#4

hi,

Man hat 30 Kugeln und 20 Becher. Die Kugeln werden zufällig
auf die Becher verteilt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen
in einem beliebigen Becher eine, zwei drei oder vier Kugeln?

Ich hätte ja für die Wahrscheinlichkeit „eine Kugel im Becher“
einfach 30 durch 20 geteilt.

das wäre eine wahrscheinlichkeit von 1,5. geht schon nicht.

Und für „zwei Kugeln im Becher“
das Ganze hoch 2 genommen… aber dann würde ja die
Wahrscheinlichkeit mit zunehmender Anzahl an Kugeln steigen.
Wo ist mein Denkfehler?

individulaisieren wir einmal einen becher und nennen ihn „A“. er wird von der 1. kugel mit der wsk 1/20 getroffen.
ebenfalls von der 2.
usw.
(dieser versuch wird 30 mal wiederholt.) idee dazu?

m.

#5

…

etwa 1/5 der becher hat keine kugel
etwa 1/3 der becher hat eine kugel
etwa 1/4 der becher hat 2 kugeln
etwa 1/8 der becher hat 3 kugeln
ca. 1 becher hat 4 kugeln
kaum ein becher hat mehr kugeln

m.

#6

Hallo Michael,

Deinen Ansatz finde ich gut, komme aber noch nicht auf deine Werte.

Also, die WSK das die erste Kugel trifft ist ja 1/20. Dass sie nicht trifft wäre 19/20. In dem Fall käme die 2. Kugel zum Einsatz.

Nach 2 Kugeln wäre die WSK also 1/20 + 19/20*1/20. Usw.

So komme ich am Ende auf eine WSK von 78,5% für eine Kugel im Becher oder kann es sein, dass das die WSK für mindestens eine Kugel ist?

Wie bist du denn so schnell auf die Ergebnisse gekommen? Ich brauch hier grade ewig um das auszurechnen :frowning:

#7

hi,

Also, die WSK das die erste Kugel trifft ist ja 1/20. Dass sie
nicht trifft wäre 19/20. In dem Fall käme die 2. Kugel zum
Einsatz.

nein. die kommt auf jeden fall zum einsatz. (denk ich mir. ich glaub, die kugeln sind unabhängig voneinander gemeint.)

Nach 2 Kugeln wäre die WSK also 1/20 + 19/20*1/20. Usw.

nicht korrekt. (s.o.)

So komme ich am Ende auf eine WSK von 78,5% für eine Kugel im
Becher oder kann es sein, dass das die WSK für mindestens eine
Kugel ist?

Wie bist du denn so schnell auf die Ergebnisse gekommen? Ich
brauch hier grade ewig um das auszurechnen :frowning:

binomialverteilung! (ein versuch wird mit gleichbleibender wsk unabhängig von einander wiederholt.)

m.

#8

Binomialverteilung… das ist es!

Also: (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)
wobei hier: n = 30, k = 1,2,3,4, p = 1/20

Genial, vielen Dank!

P.S. Die WSK, die ich vorher berechnet habe, war tatsächlich die für mindestens eine Kugel im Becher… bekommt man, wenn man alle Werte für 1-4 Kugeln addiert :smile:

#9

Binomialverteilung… das ist es!

Also: (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)
wobei hier: n = 30, k = 1,2,3,4, p = 1/20

yo!
k von mir aus auch über 4.

Genial,

nnnajjja. nö.

vielen Dank!

büttebütte

P.S. Die WSK, die ich vorher berechnet habe, war tatsächlich
die für mindestens eine Kugel im Becher… bekommt man, wenn
man alle Werte für 1-4 Kugeln addiert :smile:

lässt sich auch gut mit einer tabellenkalkulation machen, k als variable, die restlichen als parameter in zellen einstellbar.

m.