Entwickeln Sie f jeweils um die Entwicklungspunkte

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

ich habe eine Aufgabe bearbeitet, die fast richtig war, aber den Fehler den ich gemacht habe, verstehe ich nicht ganz (anders gesagt, ich glaube nicht, dass ich einen Fehler gemacht habe). 

Aufgabe :  f(x)= x^4+4x³-2x²-12x+9
Entwickeln Sie f jeweils um die Entwicklungspunkte x[1]= 1 und x[2]= - 1 

(Entwicklung) x[1]=1 => x^4+4x³-2x²-12x+9 = a(x-1)^4+b(x-1)³+c(x-1)²+d(x-1)+e
= ax^4+x³(-4a+b) + x² (6a-3b+c) + x(-4a+3b-2c+d)+e

(Koeffizientenvergleich) … => a=1 , b =8, c=16, d=0, e=9 

Mein Fehler hier ist e = 9. In der Lösung steht e=0 … ich verstehe nicht warum …
beim Koeffizientenvergleich muss ich doch auch die Konstanten gleichsetzen oder nicht ? Dann müsste dort 9= e stehen oder ? Warum steht in der Lösung e=0 … Ich hoffe ihr könnte es mir mit einfachen Worten erklären. 
für x[2]= -1 war beim mir auch e falsche . Ich habe e so ausgerechnet 9=4+e => e=5 , aber in der Aufgabe ist e anscheinend e=16, aber a=1 b=0 c= -8 und d =0 ist stimmte überein.

 
Gruß 
R.

#2

Hallo,

= ax^4+x³(-4a+b) + x² (6a-3b+c) + x(-4a+3b-2c+d)+e

Dein „+ e“ am Schluss muss ein „+ a – b + c – d + e“ sein.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=expand+%28a*%28…

In der Lösung steht e=0 …

beim Koeffizientenvergleich muss ich doch auch die Konstanten gleichsetzen oder nicht?

Ja. Ich denke, Du hast mit dem Aufgabentyp als solches kein Problem.

In der Lösung steht e=0 …

Bad news: Die Lösung ist richtig :wink:

Tipp: Gönn Deinem PC mal ein Computer-Algebra-System Deiner Wahl und lerne damit umzugehen. Das kostet zwar etwas Zeit, aber danach verfügst Du über ein mächtiges Tool, mit dem Du noch weit mehr machen kannst als „nur“ mal schnell solche Aufgaben zu überprüfen bzw. zu lösen. Wenn Du kein Geld ausgeben willst: Maxima ist Open Source und für alle gängigen Betriebssysteme verfügbar. Ein paar deutsche Tutorials schwirren auch im WWW herum. Mehr Infos darüber findest Du im Wikipedia-Artikel:

http://de.wikipedia.org/wiki/Maxima_%28Computeralgeb…

Gute Nacht
Martin

#3

eine Frage wieso ist e = 0 richtig ? Die Funktion selbst hat doch die Zahl 9 als Konstante und wenn man beide Konstante gleichsetzt, dann müsste e = 9 sein

#4

eine Frage wieso ist e = 0 richtig ? Die Funktion selbst hat doch die Zahl 9 als Konstante
und wenn man beide Konstante gleichsetzt, dann müsste e = 9 sein

Deine Argumentation ist nicht zulässig. Die tatsächliche Konstante in Deinem Ansatz ist nicht e (auch wenn’s auf den ersten Blick so aussieht) sondern a – b + c – d + e. Die Teile außer dem e werden durch die vier h (x – 1)k-Summanden produziert und das musst Du berücksichtigen. In Deinem Beispiel summieren sich nun die konstanten Beiträge aller dieser Glieder (Exponenten 4, 3, 2, 1) zufällig gerade zu dem konstanten Teil 9 der Ausgangsfunktion (beachte: Es ist die 9, weil es hier keine „versteckten“ Konstanten gibt), so dass für das e nichts mehr zu korrigieren übrigbleibt ⇒ e = 0.

Gruß
Martin

#5

Hallo,

eine Frage wieso ist e = 0 richtig ? Die Funktion selbst hat
doch die Zahl 9 als Konstante und wenn man beide Konstante
gleichsetzt, dann müsste e = 9 sein

ich habe auch eine Frage:

wie bist du eigentlich an die anderen Koeffizienten gekommen?

Wenn du

a(x-1)^4+b(x-1)^3+c(x-1)^2+d(x-1)+e

ausmultiplizierst hättest , kämst du doch auf folgenden Koeffizientenvergleich:

a=1
-4a+b=4
6a-3b+c=-2
-4a+3b-2c+d=-12
a-b+c-d+e=9 —> e=9-a+b-c+d=9-1+8-16+0=0

Hast du a,b,c und d der letzten Gleichung nach dem Ausmultiplizieren einfach übersehen?

Gruß
Pontius

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#6

Habe vergessen mich zu bedanken. Ich weiß jetzt was ich nicht bedacht habe. Sie habe doch alles richtig aufgeschrieben. Genau so habe ich es auf dem Schmierblatt gemacht( + nach den Variablen gelöst), nur habe ich hier relevante Inhalte wiedergegeben. Deswegen habe ich auch geschrieben " (Koeffizientenvergleich) … => " also diese „Pünktchen“ stehen für die Schritte die Sie angegeben haben.

MfG R.