Hallo zusammen,
mich beschäftigt schon sehr lange folgende Frage.
Angenommen, ich lege ein exakt zwei Kilometer langes Brett auf
die Erdkugel. Jedes Ende ist somit ein Kilometer vom Auflage-
punkt entfernt. Wer kann mir sagen, wie weit das Brett von der
Erde entfernt ist?
Dank im voraus.
Gruß
Josef
Angenommen, ich lege ein exakt zwei Kilometer langes Brett auf
die Erdkugel. Jedes Ende ist somit ein Kilometer vom Auflage-
punkt entfernt. Wer kann mir sagen, wie weit das Brett von der
Erde entfernt ist?
Hi Josef,
das kannst Du recht einfach mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen. Mal Dir dazu einen Kreis (für die Erde) und ein Geradenstück (für die Leiter), dessen Mitte den Kreis berührt, auf ein Blatt Papier. Du erkennst, daß das Brett eine Tangente an die Erdoberfläche darstellt. Im Auflagepunkt des Bretts bildet das Brett mit dem Erdradius einen rechten Winkel. Verbindest Du eines der Brettenden mit dem Erdmittelpunkt durch eine Linie, so hat Du ein rechtwinkliges Dreieck.
Sei
l = Länge des Bretts,
h = Höhe der Brettenden über der Erdoberfläche und
R = Erdradius = 6378000 m.
Dann haben die Katheten des Dreiecks die Längen R und l, und die Hypothenuse (= längste Dreiecksseite) hat die Länge R + h.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt nun
R^2 + l^2 = (R + h)^2
Die rechte Seite ergibt ausmultipliziert R^2 + 2 R h + h^2. Diesen Ausdruck erlaubt noch eine Vereinfachung. Wir wissen, daß h sehr viel kleiner als R ist. Daraus folgt, daß auch h^2 sehr viel kleiner als 2 R h ist. Der Term h^2 trägt also zu der Summe kaum etwas bei, und deshalb dürfen wir ihn weglassen (der dadurch verursachte theoretische Fehler ist wirklich extrem klein).
Wir haben somit die Gleichung
R^2 + l^2 = R^2 + 2 R h
Das auf beiden Seiten stehende R^2 subtrahiert sich weg, und anschließende Division durch 2 R liefert für h das Resultat:
h = l^2/(2 R)
Wenn Du für l nun 1 km einsetzt, kriegst Du raus, daß sich die Enden Deiner 2 km langen Leiter gerade eine Handbreite über der Erdoberfläche befinden (h = 7.84 cm).
Beim Bau von Teilchenbeschleunigern (diese großen Anlagen, mit denen die Elementarteilchenphysiker experimentieren) muß diese geringe Abweichung übrigens berücksichtigt werden. Da diese Präzisionsapparaturen exakt gerade sein müssen, sind die Stützen z. B. eines Linearbeschleunigers an den Enden der Apparatur tatsächlich etwas höher als die in der Mitte.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hallo
Und als Zusatzaufgabe nun noch die Frage, wei fest bzw. steif muß das Brett sein, um bei einer Länge von 2 Km noch gerade zu sein und sich unter Einfluß der Gravitation die 7 cm nicht durchzubiegen?
Gruß
Thomas
Hi Thomas,
das Brett besteht doch nicht aus Holz, sondern aus einem Laserstrahl. Da dies so selbstverständlich ist, erwähnte es Josef in seiner Frage nicht extra. 
Gruß
Martin
Hallo Martin,
Beim Bau von Teilchenbeschleunigern (diese großen Anlagen, mit
denen die Elementarteilchenphysiker experimentieren) muß diese
geringe Abweichung übrigens berücksichtigt werden. Da diese
Präzisionsapparaturen exakt gerade sein müssen…
Nur, damit niemand es falsch versteht: exakt gerade heißt hier NICHT exakt waagerecht!
Gruß, Kubi
Auch Hallo,
Angenommen, ich lege ein exakt zwei Kilometer langes Brett auf
die Erdkugel. Wer kann mir sagen, wie weit das Brett von der
Erde entfernt ist?
Das Brett hat sich von der Erde nicht entfernt, also ist der Abstand des Bretts von der Erdoberfläche (die wir für diese Frage als als Kugeloberfläche sehen wollen)gleich Null - jedenfalls am Auflagepunkt.
Für die Enden des Brettes gelten natürlich andere Bedingungen.
Gruß
Eckard.
Angenommen,
Wenn Du für l nun 1 km einsetzt, kriegst Du raus, daß sich die
Enden Deiner 2 km langen Leiter gerade eine Handbreite über
der Erdoberfläche befinden (h = 7.84 cm).Beim Bau von Teilchenbeschleunigern (diese großen Anlagen, mit
denen die Elementarteilchenphysiker experimentieren) muß diese
geringe Abweichung übrigens berücksichtigt werden. Da diese
Präzisionsapparaturen exakt gerade sein müssen, sind die
Stützen z. B. eines Linearbeschleunigers an den Enden der
Apparatur tatsächlich etwas höher als die in der Mitte.Mit freundlichem Gruß
Martin
Lieber Martin,
Bei deinem Resultat wäre die gute Erde ganz schön klein, etwa
Mondgröße. Es sind höchstens 7.8 mm (Milimeter)
Grüße Milan
Lieber Martin,
Bei deinem Resultat wäre die gute Erde ganz schön klein, etwa
Mondgröße. Es sind höchstens 7.8 mm (Milimeter)Grüße Milan
Lieber Milan,
es ist halt nur so, daß ich die 7.84 cm ausgerechnet hab. Wenn Dir dieser Wert intuitiv zu groß erscheint, kannst Du daraus lernen, daß auf die Intuition manchmal wenig Verlaß ist. Leider hast Du auch nicht erklärt, wie Du gerade auf „etwa Mondgröße“ kommst; somit kann ich dazu auch nichts sagen.
Hier die ausführliche Rechnung:
Erdradius R = 6.378 * 10^6 m
Länge der Leiterhäfte l = 1 km = 10^3 m
Rechnung:
l^2 (10^3 m)^2
h = ------- = --------------------
2 \* R 2 \* 6.378 \* 10^6 m
10^6 m^2
= ----------------- (10^6 kürzt sich weg)
12.756 \* 10^6 m
1
= -------- m
12.756
= 0.0784 m
= 7.84 cm
Grüße zurück
Martin
Lieber Martin,
Bei deinem Resultat wäre die gute Erde ganz schön klein, etwa
Mondgröße. Es sind höchstens 7.8 mm (Milimeter)
Ich habs mal kurz ausgerechnet und bin auch auf etwas über 8 cm gekommen. Bei diesen Zahlenwerten ist aber Vorsicht geboten; selbst geringste Rundungsfehler des Taschenrechners können das Ergebniss erheblich verfälschen.
Jörg
Hallo Martin,
Natürlich hast Du recht. Mich hat tatsächlich die Intuition
verfüht und dazu noch der Rechner mit einer Kommastelle.(die
mir sehr passte)
Meine Rechnung war die volgende:
h=(10^3*sqr(R^2+1)-R*10^3)=0.0784 m
Entschuldige bitte meine blöde Reaktion ohne vorher kontroliert
zu haben.Wird nie mehr passieren!
Grüße Milan
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Hi Milan,
kein Problem. Den, dem sowas noch nie passiert ist, möchte ich kennenlernen. Ich gehöre jedenfalls auch nicht dazu. Ansonsten finde ich, daß Fehler erst dann (wirklich) schlimm sind, wenn man nix draus lernt. 
Gruß
Martin
hallo josef
diese frage kann ich dir nicht beantworten,
aber ein sprichwort besagt-wer zum horizont will,mußlange lange
laufen.
gruß friedel
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