Guten Abend,
meine Frage lautet:
Warum ist die erste Ableitung von sin(2x)=2cos(2x).
Bitte beantworten sie diese Frage ohne sich auf die Kettenregel zu beziehen.
Vielen Dank bereits jetzt für ihre Antwort.
Beste Grüße
meine Frage lautet:
Warum ist die erste Ableitung von sin(2x)=2cos(2x).
Bitte beantworten sie diese Frage ohne sich auf die
Kettenregel zu beziehen.
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Ja was denn nun? Willst du eine Erklärung der Kettenregel (wie in der Überschrift verlangt), oder eine Erklärung dieser Aufgabe _ohne_ Kettenregel, wie im Text steht? Ich beantworte mal zweiteres, das ist wohl gemeint…
Hm, ich würde das z. B. folgendermassen beantworten: der Graph von sin(2x) geht aus dem Graph von sin(x) durch eine Stauchung mit dem Faktor 2 in x-Richtung hervor. Deshalb ist die Steigung des Graphen von sin(2x) überall doppelt so groß wie die Steigung des Graphen von sin(x). Die Steigung des Graphen von sin(x) erhält man aber mittels cos(x); deshalb erhält man die Steigung des Graphen von sin(2x) mittels 2 cos(2x).
Verständlich?
Ableitung von Sinus(Irgendwas)
= Ableitung von Irgendwas mal Cosinus (Irgendwas)
Guten Abend,
ich denke mal, Sie kennen den Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion und wissen auch, dass (sin x )´= cos x. Und sie wissen auch, dass die Ableitung an einer Stelle x die dortige Tangentensteigung der Sinusfunktion angibt Ersetzt man bei einer beliebigen Funktion x durch 2x, so wird der Graph der ursprünglichen Funktion bekanntlich auf die y-Achse zu um den Faktor 2 gestaucht. Für die Funktion y=sin 2x bedeutet dass, dass sie nicht nur die Üblichen Nullstellen …-pi, 0, pi, 2pi,3pi…hat sondern immer noch eine dazwischen. Dieses Stauchen bedeutet anschaulich auch, dass nun alle Tangenten doppelt so steil sind wie bei sin x. Deshalb der Faktor 2 vor der Ableitung. Notfalls hilft es Ihnen, wenn Sie sich sin x und sin 2x in Ruhe aufmalen und gleich dazu an Punkten mit gleichem x-Wert die Tangenten mit einzeichnen. (nicht gerade in den Extrempunten, da ist die Tangentensteigung null und das Doppelte davon ist auch null.)
Viele Grüße von Max
Guten Abend,
meine Frage lautet:
Warum ist die erste Ableitung von sin(2x)=2cos(2x).
Bitte beantworten sie diese Frage ohne sich auf die
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Guten Abend,
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Warum ist die erste Ableitung von sin(2x)=2cos(2x).
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Warum denn ohne Kettenregel?
Wenn es unbedingt so sein soll, dann könnte man den Differenzengrenzwert lim_{x->y} ((sin(2y)-sin(2x))/(y-x)) auf den Grenzwert für sin’ zurückführen, also lim_{x->y} ((sin(y)-sin(x))/(y-x)).
Vielen Dank bereits jetzt für ihre Antwort.
Das klingt stark nach Hausaufgabe, richtig?
Hallo,
meine einzigen beiden Ideen sind 1. eine grafische Begründung (sin(2x) zeichnen, die Steigung an verschiedenen Stelölen abtragen und als Fukntionswert einer zweiten Funktion eintragen, die so entstehende Funktion ist 2cos(2x)), 2. mittels eines Differenzquotienten:
[f(x+h)-f(x)]/h aufstellen, umformen und h gegen Null gehen lassen.
-> [sin(2(x+h))-sin(2x)]/h
Das so umformen, dass h nichtmehr der Nenner ist und man sieht, was passiert wenn man h gegen Null gehen lässt, ich weiss leider nicht aus dem Stehgreif wie man das umformen kann, mit Rechenregeln für sin und cos (Formelsammlung) wahrscheinlich (wenn man jetzt h gegen Null gehen lässt kann man nicht sagen was rauskommt, weil man durch Null teilen würde und im Zähler auch Null rauskommen würde).
Hoffe das hat etwas gehofen,
Fabi123
Hallo
die Kettenregel brauchen wir hier auch gar nicht.
Die Ableitung von sin(x) = cos(x), von sin(ax) = acos(ax)
Beim Ableiten von sin(x), bleibt das Argument x erhalten. Egal was drin steht. Also sin(2x + 5) = 2cos(2x + 5)
Der Faktor vor dem Cosinus kommt durch „nachdifferenzieren“ zustande. Das bedeutet, es wird ei Ableitung des Arguments x mit mal angehängt.
Ableitung von sin(2x) = cos(2x) mal Ableitung von 2x also 2
sin(2x) = 2cos(2x)
Alles klar?
Gruß Marco
Hallo,
ohne Kettenregel fällt mir da im Augenblick nichts Richtiges ein. Müsste ich mich in einer stillen Stunde mal mit beschäftigen. Die stille Stunde habe ich aber im Augenblick nicht. Es müsste über die Definition des Differenzialquotienten auch gehen.
Tut mir leid, dass ich auf die Schnelle nicht helfen kann.
Mit Kettenregel ist es ganz einfach. Die Kettenregel für verkettete Funktionen lautet:
f(x) = g (h(x)) --> f´(x) = g´(h(x))*h´(x).
In deinem Fall wäre g´(h(x)) = cos (2x) und h´(x) = 2.
Zusammen also: f´(x) = 2cos(2x).
Viele Grüße
funnyjonny
Hm, also ohne Kettenregel fiele mir spontan entweder ein Additionstheorem ein, möglicherweise eine Taylorreihenentwicklung oder Du drückst das ganze über dein Einheitskreis-Ansatz ab.
Allerdings kommt meiner Ansicht nach früher oder später (in anderer Form) wieder eine Kettenregel zur Anwendung.
Das ganze wurde schon in einem anderen Forum diskutiert:
http://www.onlinemathe.de/forum/Sinus-und-Kosinus-Ab…
diese Frage ist ohne die Kettenregel schwer zu beantworten. Da es zwei ineinandergeschachtelte Funktionen sind nämlich sin(x) und 2x ist die Kettenregel anzuwenden.
Ohne die Kettenregel müsste man sich mit der h-Methode herumschlagen oder wie anfangs in der Integralrechnung die Ableitung mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten versuchen. also lim x–> unendlich ((f(x)-f(x0) / (x-x0)) und das ist nicht lustig.
Frank
Man kann den Grenzwert bilden. Das steht in jedem guten Mathematik-Lehrbuch, auch bei Wikipedia…
Wenn f(x)=sin(2x), dann ist der Differenzenquotient für die Stelle x:
m(h)=1/h * [sin(2(x+h)) - sin(2x)]. Mit den Additionstheoremen wird sin(2(x+h))=sin(2*x+2*h) aufgelöst. Die Einzelgrenzwerte von cos(2*h) und sin(2*h)/h für h gegen null sind 1 und ebenfalls 1.
Vergl. www.youtube.com/watch?v=GAkdisUIMPQ