Erklärung zu einer Mathaufgabe 8. Klasse Gym

Wissenschaft Mathematik
#1

kann mir jemand grob den Lösungsweg andeuten bzw. zumindest den unterstrichenen Satz erklären wie dieser gemeint ist. Sowohl mein Sohn als auch ich stehen hier gerade auf dem Schlauch:

Sabines Kiste enthält viele gleich große, einfarbige Kugeln in fünf versch. Farben.
Sie entnimmt der Kiste vier Kugeln und baut daraus auf einem Drehteller eine Kugelpyramide.
Eine solche Pyramide besteht aus drei unteren Kugeln, welche auf dem Drehteller liegen und einander paarweise berühren, sowie einer oberen Kugel, welche die drei unteren berührt.
Zwei Kugelpyramiden gelten als verschieden, wenn sie nicht durch Drehen des Tellers ineinander überführt werden können.

Ermittle, wie viele verschiedene Kugelpyramiden sich errichten lassen.

#2

Was kursiv geschrieben ist:

Damit ist gemeint, daß eine andere Perspektive keine andere (Kugel-)Pyramide ist.

Da es fünf verschiedene Farben gibt, aber nur 4 verwendet werden, ist der 1. Ansatz eine Kombinatorik 4 von 5.

Das reicht aber nicht, da hierbei die Position der Kugeln nicht berücksichtigt ist. Jede der 5 Farbkugeln kann oben liegen.

Beim Betrachten der Pyramide gilt es auch links und rechts zu unterscheiden. Diese Reihenfolge kann durch Drehen des Tellers auch nicht geändert werden: es handelt sich damit auch um unterschiedliche Pyramiden.

#3

Hallo,

Nimm die Pyramide, wo rot oben ist und in der unteren Ebene im Uhrzeigersinn die Kugeln blau, grün und gelb liegen.
Der unterstrichene Satz sagt, dass diese Pyramide identisch ist mit der, wo rot oben liegt und in der unteren Ebene im Uhrzeigersinn die Kugeln grün, gelb und blau liegen.
(Male Dir ein Bild. Ich habe leider keine Ahnung, wie ich hier eines einfügen kann.)

Die Pyramide, wo blau oben liegt und unten egal welche Farben liegen wäre eine andere.
Weil egal wie Du die Pyramide auf dem Teller drehst, die oberste Kugel bleibt immer identisch.

Bei solchen Kombinatorikaufgaben führen immer sehr viele Wege zum Ziel. Ich würde mit der Erkenntnis anfangen, dass eine Änderung der oberen Kugelfarbe zu einer neuen Sorte Pyramide führt. Du hast 5 Farben, also schon mal 5 Sorten von Pyramiden.
Für jede der 5 Sorten gibt es jetzt verschiedene Wahlmöglichkeiten für die untere Ebene.
Z.B. rot - grün - gelb oder gelb - rot - rot etc.

Oft macht es Sinn, wenn man sich die unteren Kugeln irgendwie nummeriert vorstellt: Die 1. Kugel ist die vorne, die 2. ist die hinten rechts, die 3. ist die hinten links. (als Beispiel).

Für die untere Ebene würde ich unterscheiden, ob Du 3 unterschiedliche Kugeln hast oder nur zwei Farben oder eben nur eine Farbe.

Hast Du nur eine Farbe, so gibt es für diese Farbe auch nur 1 Möglichkeit der Anordnung.
Bei 5 Farben, entstehen 5 Pyramiden pro Sorte.

Hast Du zwei Farben, so gibt es auch nur eine Möglichkeit der Anordnung.
Bei Fünf Farben hast Du 5*4 = 20 Möglichkeiten Dir zwei Farben auszuwählen (5 Möglichkeiten für die erste Farbe und 4 Möglichkeiten für die zweite Farbe. --> Tafelwerk: „Variation von 5 Elementen zur Klasse 2 ohne Wiederholung“).

Du hast also jetzt schon 5 * (5+20) verschiedene Pyramiden.

Wenn Du 3 verschiedene Farben hast, dann musst Du aufpassen. Die Kombination rot - gelb -blau ist die selbe wie gelb - blau -rot. Da Du sie durch Drehung ineinander überführen kannst. Ich glaube, dass es da (5*4*3)/2 = 30 Möglichkeiten geben sollte, aber das solltest Du noch mal prüfen.

Das würde dazu führen, dass Du insgesamt 5* ( 5+ 20 + 30) verschiedene Pyramiden bauen kannst. (Bzw. kann das dieses Mädchen mit der Kiste.)

Beste Grüße
Greyfox

#4

super, vielen lieben Dank für die wahnsinnig schnelle und ausführliche Antwort. Wir werden gleich mal schauen ob wir´s hinbekommen. Danke nochmals.

#5

Was kursiv geschrieben ist:

Damit ist gemeint, daß eine andere Perspektive keine andere
(Kugel-)Pyramide ist.

Da es fünf verschiedene Farben gibt, aber nur 4 verwendet
werden, ist der 1. Ansatz eine Kombinatorik 4 von 5.

Da hier die Reihenfolge eine Rolle spielt, ist es Variation.
Wichtig ist dabei nur die untere Ebene aus 3 Kugeln, also eine Variation von 3 aus 5

Das reicht aber nicht, da hierbei die Position der Kugeln
nicht berücksichtigt ist. Jede der 5 Farbkugeln kann oben
liegen.

Man berechne die Anzahl der Möglichkeiten der unteren Ebene und nimmt das mal 5,
da die obere Kugel 5 verschiedene Farben haben kann.

Beim Betrachten der Pyramide gilt es auch links und rechts zu
unterscheiden. Diese Reihenfolge kann durch Drehen des Tellers
auch nicht geändert werden: es handelt sich damit auch um
unterschiedliche Pyramiden.

Es ist ein Berechnung aus zwei Variationen, wobei ich von einer Anordnung im Uhrzeigersinn ausgehe.

  1. Variation mit Wiedeholung.
    Die Farben können mehrfach vorommen.
    V1=n^k
    n=5
    k=3
    Bei dieser Berechnung habe ich auch die Möglichkeiten (rot, grün,gelb), die die gleiche Anordnung gegen den Uhrzeigersinn ergeben. Diese muss ich von der Gesamtzahl abziehen.Es ist genau die Hälfte von
  2. Variation ohne Wiederholung.
    Jede Farbe nur einmal.
    V2=n!/(n-k)!
    Davon die Hälfte.
    Für die untere Ebene ergibt sich also
    V3=V1-(V2/2)
    Mit der oberen Kugel das Ganze mal 5.
    Vges=5*V3
#6

Hallo Stephanie311068,

komme erst jetzt an den Rechner. Soweit ich sehen kann, wurde deine Frage ja bereits beantwortet. Falls nicht, einfach wieder melden.

Viele Grüße

Benjamin