Erwartungswert beim 'Kniffel'

Wissenschaft Mathematik
#1

Guten Abend :wink:

Es geht um folgendes Problem:

Ich möchte den wie schon im Titel erwähnten Erwartungswert (oder kurz gesagt: die Wahrscheinlichkeit eines einzutretenden Ereignisses) berechnen. Dabei beziehe ich mich auf eine konkrete Situation beim Brettspiel Kniffel:

Wie sicherlich bekannt ist, kann man beim „kniffeln“ im Abschnitt mit den zu erreichenden Zahlen von 1-6 (die Summe der geworfenen gleichen Zahlen wird der jeweiligen Zahl gutgeschrieben) einen Bonus erreichen. Nun hätte ich noch 2 Sechser würfeln müssen, um diesen mit auf den Punktestand rechnen zu dürfen. Einen hatte ich schon. Nun hatte ich vier Würfel, mit welchen ich würfeln durfte. Hätte ich beim ersten
Durchgang eine Sechs geworfen, hätte ich sie zurückgelegt und nur noch drei Würfel im zweiten Durchgang gehabt. Oder ich hätte im ersten Durchgang garkeine Sechs geworfen…
Jedoch sind das leider nur Spekulationen :wink: Was mich, wie bereits schon erwähnt, interessiert, ist der dazugehörige Erwartungswert. Was mir dabei Schwierigkeiten bereitet ist,
dass der zweite vom ersten Durchgang abhängig ist. (Jedoch vielleicht nur scheinbar, ich habe ja eine begrenzte Anzahl an Fällen, die auftreten können.) Und dass die beiden
Durchgänge (durch die Abhängigkeit) nicht gleichwertig sind. Was ich damit meine, dass ihre Gewichtung der Wahrscheinlichkeiten nicht wie bei einem Würfel ist (jede Zahl hat ja die
Wahrscheinlichkeit von 1/6, bei einem Wurf aufzutreten), sondern dass diese verschieden sind und wie eben erläutert von dem vorherigen Wurf abhängt.

Ich hoffe, aus euren Antworten hilfreiche Informationen entnehmen zu können, die mir
für die Zukunft mehr selbstständigkeit für Wahrscheinlichkeitsrechnungen geben werden.
Also was ich mir deshalb wünsche, dass diese Problemstellung vielleicht auch nochmal allgemein erläutert wird, damit ich sie auf andere Probleme übertragen kann.

Danke schonmal im Voraus :wink:

#2

Hallo;

auch wenn ich das Spiel Kniffel nicht wirklich kenne (vom Hörensagen ist für mich nicht „kennen“), habe ich die folgenden Informationen extrahiert:

Es wird mit vier Laplace-Würfeln zwei mal gewürfelt. Sollte im ersten Durchgang eine sechs auftreten, werden im zweiten nur noch drei Würfel verwendet. Betrachtet werden alle Kombinationen, bei denen mindestens zwei Sechsen auftreten.

Zunächst einmal: auch wenn die vier Würfel gleichzeitig geworfen werden, kann davon ausgegangen werden, das die zugehörigen Ereignisse unabhängig sind (im Baumdiagramm: man kann für die Wahrscheinlichkeit „entlang der Äste“ multiplizieren).

Natürlich sind die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Wurf vom ersten abhängig (weil dann nur noch drei verwendet werden), darum solltest du das Ereignis in die beiden disjunkten Teilereignisse „genau eine Sechs im ersten Wurf“ und „ungleich eine Sechs im ersten Wurf“ (es sei denn du möchtest >1 Sechs gesondert betrachten, weil dort der zweite Wurf mit 1 eingeht) aufteilen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl auf einem bestimmten Würfel auftritt, ändert sich jedoch nie (tut mir leid wenn ich dir damit unrecht tue, aber diese Annahme habe ich aus deinem Beitrag herausgelesen).

Damit haben wir die Wahrscheinlichkeiten… Nun stellt sich die Frage: Erwartungswert für welche Zufallsgröße? Die Augensumme? Wenn ja: Was passiert mit der Zufallsgröße, wenn das beschriebene Ereignis auftritt?

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße berechnet sich über die Summation der Produkte aus Wahrscheinlichkeit und Zufallsgrößenwert über allen Ereignissen (darum: besser das beschriebene Ereignis erst definieren, sodass die Wahrscheinlichkeit mit dem Zufallsgrößenwert des zusammengesetzten Ereignisses multipliziert werden kann - weniger Rechenschritte).

Bin mir fast sicher dass ich etwas vergessen habe, allerdings werde ich hier erstmal einen Schlussstrich ziehen - du kannst ja gerne, wenn du das Problem genauer beschreiben kannst (oder deinen Problempunkt, oder es findet sich jemand, der mit Kniffel besser vertraut ist als ich), noch einmal hier nachfragen.

mfG

#3

Hallo!

Also was ich mir deshalb wünsche, dass diese Problemstellung
vielleicht auch nochmal allgemein erläutert wird, damit ich
sie auf andere Probleme übertragen kann.

Allgemein würfelst Du einmal mit n Würfeln und erhältst dabei k Sechsen. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Sechsen beträgt

p(k,n) = \left(\frac{1}{6}\right)^k \cdot
\left(\frac{5}{6}\right)^{n-k} \cdot
{{n}\choose{k}}

mit

{{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!}, \qquad
n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n.

Damit kannst Du ausrechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit Du nach dem ersten Wurf Dein Soll bereits erfüllt hast.

Zugleich kannst Du auch ausrechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit Du im ersten Wurf zu wenige Sechsen hast. Dann legst Du die wenigen bekommenen Sechsen ja heraus und spielst mit den verbliebenen Würfeln weiter. Die Berechnungsvorschrift von oben bleibt weiterhin gültig, Du musst nur den Wert für n entsprechend reduzieren.

Zum Schluss multiplizierst Du die Wahrscheinlichkeiten aller Stufen auf. Damit kannst Du auch so etwas berechnen wie „im ersten Wurf zwei Sechsen, dann im zweiten Wurf noch eine Sechs dazu und im dritten Wurf weitere zwei Sechsen“.
Kontrollergebnis: p=0.161*0.347*0.019=0.001=0.1%.

Ist das hinreichend allgemein? :smile:

Liebe Grüße,

The Nameless

#4

Also unter Kniffel verstehe ein Spiel mit 5 Würfeln mit den Ereignissen:
1er
2er
3er
4er
5er
6er
3er Pasch
4er Pasch
Full House
Kleine Str.
Große Str.
Chance
Kniffel (5er Pasch)
+Bonus wenn die xer Reihe voll ist.
Was soll da der Erwartungswert sein? Die Punktzahl?
Das ist kein reines Glücksspiel, da ist viel Strategie gefragt. Die Würfelanzahl und Anzahl der Würfe ist variabel.
Ich behaupte mal es gibt keinen Erwartungswert für das Spiel und wenn doch, dann willst Du ihn nicht wirklich ausrechnen…

#5

Der Erwartungswert ist die Wahrscheinlichkeit mit der ein bestimmtes
Ereignis auf längere Zeit betrachtet eintritt, aber trotzdem vielen Dank :wink:

#6

Genau so habe ich mir das vorgestellt, vielen Dank! :wink:

#7

Danke :wink:

#8

moin;

Der Erwartungswert ist die Wahrscheinlichkeit mit der ein bestimmtes

Ereignis auf längere Zeit betrachtet eintritt

nö. gar nicht. hat sogar nichts mit den besonderen Ereignissen an sich zu tun.

http://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert

Wir sehen, der Erwartungswert ist für eine Zufallsgröße definiert, nicht für ein Ereignis. Tatsächlich ist der Erwartungswert eine Summation über alle Ereignisse (genauer gesagt, alle Elemente der entsprechenden (Sigma-)Algebra, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für eben dieses Ereignis).

mfG

#9

moin;

bäh, da hab ich wieder Schwachsinn von mir gegeben ^^ der Erwartungswert der Zufallsgröße summiert zwar über alle Ereignisse (ggf. per Integral), aber mit Summanden, die aus dem Produkt aus dem Zufallsgrößenwert im Ereignis und der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses bestehen.

mfG