Hallo,
ich stehe bezüglich der Umformung der Lösung einer einfachen Differentialgleichung auf dem Schlauch. Die Lösung ist eine Wellenfunktion der Form
A*exp(ikx)+B*exp(-ikx)
Mittels der Euler-Beziehung exp(ikx) = cos(kx)+i*sin(kx) lässt sich das wohl umformen nach
C*cos(kx)+D*sin(kx)
Und exakt diesen Schritt habe ich versucht nachzuvollziehen. Wieso verschwindet die imaginäre Einheit i? Hängt es mit der Wahl der Konstanten C und D zusammen?
Besten Dank im Voraus!
ich stehe bezüglich der Umformung der Lösung einer einfachen
Differentialgleichung auf dem Schlauch. Die Lösung ist eine
Wellenfunktion der FormA*exp(ikx)+B*exp(-ikx)
Mittels der Euler-Beziehung exp(ikx) = cos(kx)+i*sin(kx) lässt
sich das wohl umformen nach
C*cos(kx)+D*sin(kx)Und exakt diesen Schritt habe ich versucht nachzuvollziehen.
Wieso verschwindet die imaginäre Einheit i? Hängt es mit der
Wahl der Konstanten C und D zusammen?
Die imaginäre Einheit verschwindet, weil C*cos(kx)+D*sin(kx) natürlich der relle Anteil von A*exp(ikx)+B*exp(-ikx) ist. Was als Ergebnis eines Koeffizientenvergleichs - nach Anwendung eines Additionstheorems- ebenfalls natürlich nur dann herauskommt, wenn A und B komplex sind (und sie damit konstante Phasenanteile in die Exponenten einbringen, was jedoch in der Darstellung als A*exp(ikx)+B*exp(-ikx) nicht ersichtlich ist also A*exp(ikx)+B*exp(-ikx) = Betrag(A)*exp(i(kx+phi))+Betrag(B)*exp(-i(kx+phi)).
Was du rein zufällig vergaßest zu erwähnen.
gruß
Hallo und vielen Dank für Deinen Beitrag!
Ich habe das nicht vergessen zu erwähnen, sondern zum Zeitpunkt der Erstellung dieser Frage schlichtweg nicht gewusst. Ich arbeite mich im Moment etwas in die tieferen mathematischen Hintergründe der Quantenmechanik ein. Da im Chemiestudium diese allerdings mehr oder weniger phänomenologisch und axiomatisch behandelt wird, tue ich das mehr oder weniger auf eigene Faust und mit nur rudimentären mathematischen Vorkenntnissen (das wird sich hoffentlich bald ändern). Hätte ich vielleicht vorher erwähnen sollen, jedoch möchte ich auch nichts auf dem silbernen Tablett serviert bekommen.
Ich bin davon ausgegangen, die Koeffizienten einer solchen Linearkombination seien reelle Skalare. Mittlerweile bin ich zu dem Schluss gekommen, mich mit Umformen über C = (A+B) und D = (Ai - Bi) (aus dem Kopf, kann auch anderes Vorzeichen sein) anfreunden zu müssen. Sollte es sich aber bei dem gesamten Term nur um einen Realteil handeln, deckt sich das mit Deiner Erklärung wahrscheinlich nicht. Das heißt nicht, dass ich Dir nicht glaube, Du wirst von dieser Materie mit Sicherheit mehr Ahnung haben als ich.
Aber an die Wellenfunktionen selbst wird nicht der Anspruch physikalischer Interpretierbarkeit erhoben. Erst ihr Betragsquadrat beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsdichte, für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens in einem Potentialfeld.
Vor diesem Hintergrund erschließt sich mir also nicht, warum nur mit einem Realteil gerechnet werden sollte, aber ich bin für jeden Hinweis dankbar.
Dann mach dich doch mal dran, den Real- und den Imaginäranteil von z.B A*exp(ikx) = Betrag(A)*exp(i(kx+phi)) –also nur einem der beiden Terme- auszurechnen. Nach der Euler- Formel ist das:
Re(A*exp(ikx)) = (Betrag(A) *cos(kx + phi) (reell) bzw. Im(A*exp(ikx)) = Betrag(A) *sin(kx + phi) (imaginär).
In den Anteilen kommen keine komplexen Zahlen vor. j kommt lediglich als Multiplikator vor dem Im- anteil vor. Es ist geradezu Sinn der Sache, diese dinge sauber zu trennen. Über die physikalische Bedeutung kannst du dir einen Kopf machen, wenn du diese Sachen mal grundlegend begriffen hast.
Weiter: Und wie kannst du cos(kx + phi) bzw. sin(kx + phi) auch anders schreiben? Befass dich mal mit Additionstheoremen.
Und das gleiche machst du mit dem anderen Term, dem mit Betrag(B). Im Abschluss kannst eine Menge umstellen und ordnen, es bilden sich neue Konstanten und am Ende steht dann Ausdrücke wie C*cos(kx)+D*sin(kx) und j* (E*cos(kx)+F*sin(kx)).
C*cos(kx)+D*sin(kx) ist damit nicht die komplette Umformung von A*exp(ikx)+B*exp(-ikx) sondern ein Teil davon. Ob das jetzt der Imaginärteil ist oder der Realteil, da kannst du eine Münze werfen.
Und das ist nicht Quantenmechanik sondern -wie schon gesagt- stinknormales Rechnen mit komplexen Zahlen. Und was interessieren da (Zitat) Betragsquadrat beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsdichte, für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens in einem Potentialfeld.(Zitat Ende), wenn man die grundlegenden Rechnungen nicht versteht.
Mit deinem Umformen (Zitat) mit Umformen über C = (A+B) und D = (Ai - Bi) (aus dem Kopf, kann auch anderes Vorzeichen sein) anfreunden zu müssen.(Zitat Ende) würde ich mich demnach nicht zu sehr anfreunden. C,D,E und F sind allesamt reell.
gruß