Exponent einer e-Funktion geeignet umformen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

es ist mir etwas peinlich, allerdings komme ich gerade bei einer
Aufgaben nicht weiter. Gegeben ist aktuell der folgende Ausdruck:

\int dx e^{-ikx-\frac{\alpha}{2}(x + x_{0})^2} + \int dx e^{-ikx-\frac{\alpha}{2}(x - x_{0})^2}

Man kann die Exponenten bestimmt geeignet umformen, so dass

\int dx e^{-ikx-\beta x^2} = \sqrt{\frac{\pi}{\beta}};e^{\frac{-k^2}{4\beta}}

anwendbar ist, um die Integrale leichter lösen zu können.
Nur sitze ich nun schon einige Zeit davor und komme nicht
auf das Ergebnis. Könnte mir jemand von Euch bitte helfen?

Gruß.

#2

hi,

es ist mir etwas peinlich,

mir isses ned so peinlich, aber mit komplexen integralen bin ich momentan auch ned so firm, aber in …

\int dx e^{-ikx-\beta x^2} =
\sqrt{\frac{\pi}{\beta}};e^{\frac{-k^2}{4\beta}}

fehlen mir entweder links integrationsgrenzen oder rechts eine variable. links steht ein unbestimmtes integral, rechts allenfalls ein bestimmtes.

vielleicht hilft dir das ja.

m.

#3

Hallo,

\int dx e^{-ikx-\frac{\alpha}{2}(x + x_{0})^2} + \int dx
e^{-ikx-\frac{\alpha}{2}(x - x_{0})^2}

Man kann die Exponenten bestimmt geeignet umformen, so dass

\int dx e^{-ikx-\beta x^2} =
\sqrt{\frac{\pi}{\beta}};e^{\frac{-k^2}{4\beta}}

anwendbar ist, um die Integrale leichter lösen zu können.
Nur sitze ich nun schon einige Zeit davor und komme nicht
auf das Ergebnis. Könnte mir jemand von Euch bitte helfen?

Die Form passt ja schon recht gut. Was im Moment stoert ist das +x0 bzw. -x0. Das kriegst du mit einer Variablentransformation weg, also y = x + x0 bzw. z = x - x0.

Gruesse,
Moritz

#4

Nicht wirklich, aber hier, bitte (ich bewege mich ja im Mathe-Board :wink:)

\int_{-\infty}^{\infty} dx;e^{-ikx -\beta x^2} = \sqrt{\frac{\pi}{\beta}};e^{\frac{-k^2}{4\beta}}

Wie ich das ursprüngliche Problem nun gelöst habe: siehe unten.

#5

Ich hoffe, ich habe es nun richtig gemacht, ich
habe einen anderen Weg gewählt. Zu lösen war

C \left( \int_{-\infty}^{\infty} dx;e^{-\frac{\alpha}{2}(x + x_{0})^2} e^{-ikx} + \int_{-\infty}^{\infty} dx;e^{-\frac{\alpha}{2}(x - x_{0})^2} e^{-ikx} \right)

Um den Ausdruck in den Griff zu bekommen, habe
ich die folgende Relation benutzt (englisches Wiki):

\int_{-\infty}^{\infty} dx;e^{-a x^2} e^{-2bx} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{a}}

Stellt man dieser nun z.B. das ‚erste‘ Integral gegenüber

\int_{-\infty}^{\infty} dx;e^{-\frac{\alpha}{2}(x + x_{0})^2} e^{-ikx}

habe ich a = \frac{\alpha}{2} und 2b = ik \Rightarrow b = \frac{ik}{2} gewählt und erhalte

\int_{-\infty}^{\infty} dx;e^{-\frac{\alpha}{2}(x + x_{0})^2} e^{-ikx} = \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}} e^{\frac{(ik/2)^2}{\alpha /2}} = \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}} e^{\frac{-k^2}{2\alpha}}

Analog für das zweite Integral, selbes Ergebnis.

x + x_{0} kann man hier behandeln wie x , wichtig ist, dass

\int_{-\infty}^{\infty} dx;e^{-a x^2} = \sqrt{\frac{\pi}{a}}

#6

Das stimmt aber nicht ganz, da Du den ersten Exponenten nach binomischer Formel auflösen musst bzw. den zweiten auf die Form des ersten ergänzen. Außerdem muss man bei der Integration in der komplexen Ebene aufpassen. Du hast ja hier die Fourier-Transformierte einer Gaußschen Glockenkurve stehen.

y=x + x_{0}
\implies
\int_{-\infty}^{\infty} dx;e^{-\frac{\alpha}{2}(x + x_{0})^2} e^{-ikx}

\int_{-\infty}^{\infty} dy;e^{-\frac{\alpha}{2}y^2} e^{-iky} e^{ikx_0}

und der letzte Faktor ist eine Konstante, die aus dem Integral herausgezogen werden kann. Rest dann wie gehabt.

Gruß, Lutz