Hallo Dennis,
habe heute etwas mehr Zeit, um auf die Lösungsmethode näher einzugehen. Die Suche der Lösungen für Deine Gleichung läuft etwas anders formuliert auf die Suche der Nullstellen der Differenzfunktion f(x) = e^x - x^3 + x - 1 hinaus. Wenn Du eine Wertetabelle für alle ganzzahligen Werte von sagen wir mal -3 bis + 6 anlegst, kannst Du ausgehend von der Stetigkeit der gegebenen Funktion eine Behauptung für die ungefähre Lage der Nullstellen angeben. Eine fällt sogar genau an, nämlich die bei x0 = 1. Du siehst am Vorzeichenwechsel in Deiner Wertetabelle, wo die Nullstellen in etwa liegen: Zwischen -2 und -1 findet ein Vorzeichenwechsel statt, dann wieder zwischen 2 und 3 und dann noch einmal zwischen 4 und 5. Aufgrund des grundsätzlichen Verhaltens der Funktion für große x-Werte kann man davon ausgehen, dass jenseits der Zahl 5 die ganze Funktion endgültig im I.Quadranten des Koordinatensystems verläuft, da für größere x-Werte schließlich der e^x-Teil der Funktion dominiert und den ganzrationalen Teil einer Funktion 3. Grades überholt.
Widmen wir uns den Möglichkeiten der Suche der Nullstellen. Es bieten sich zwei Möglichkeiten an: Das Intervallhalbierungsverfahren. Du wählst die Mitte des Intervalls [-2; -1] als Startwert. Dies ist x1 = -1,5.
Diese Zahl setzt Du in f(x) ein und ermittelst das Vorzeichen. Ist es negativ, so liegt die Nullstelle zwischen -2 und -1,5. Ist es dagegen positiv, so liegt die Nullstelle zwischen -1,5 und -1. Im vorliegenden Fall ist f(-1,5) = 1,09…> 0. Das bedeutet: Die Nullstelle liegt zwischen -1,5 und -1. Als nächsten Näherungswert nimmst Du dann den Wert -1,25 (Mitte des neuen Intervalls). Du erhältst: f(-1,25) = -0,01. Damit liegt die Nullstelle zwischen -1,5 und -1,25. Da die -0,01 schon nahe an der Null liegt, kannst Du dann von der Intervallhalbierung abweichen und z.B. bei x = -1,26 untersuchen. Dort erhältst Du f(-1,26) = 0,024…, also einen positiven Wert. Da bei -1,25 ein negativer Wert vorlag, liegt die Nullstelle zwischen -1,26 und -1,25. Auf diese Art und Weise kannst Du immer näher an die wahre Nullstelle herankommen. Ist dir die Genauigkeit groß genug, dann wählst Du diesen Wert als Näherungswert für Deine Nullstelle.
Eine weitere Lösungsmethode ist das Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen. Hierbei wählst Du ebenfalls einen Startwert x0 in der Nähe eines Vorzeichenwechsels der Funktionswerte und berechnest dann die weiteren Näherungswerte nach der Formel: x1 = x0 -(f(x0)/f’(x0)) bzw. allgemein xn = x(n-1)-(f(x(n-1))/f’(x(n-1)). Dabei musst Du darauf achten, dass das Verfahren nicht immer zu einem Ziel führt. Insbesondere kannst Du keinen Startwert nehmen, bei dem gilt f’(x0) = 0.
Ich hoffe, das hilft Dir weiter.
Viele Grüße
funnyjonny
